Enunciado

Um determinado comprimento de um cabo de transmissão está suspenso das duas torres, como mostrado. O cabo tem uma massa de 20 kg por metro. Se a máxima força trativa admissível no cabo vale 75 kN, determine a massa ρ de gelo por metro de cabo, que pode se formar sobre o cabo sem que a máxima força trativa admissível se seja excedida. Se o alongamento adicional no cabo for desprezado, a presença do gelo muda a configuração do cabo?

Passo 1

Para esse problema primeiro devemos perceber que esse cabo está sob efeito apenas da força peso, que age em cada elemento dependendo do comprimento desse elemento, e da tração. Esse é então um cabo catenário, e tem o formato dado pela seguinte equação:

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 + K

Escolhendo como origem o ponto mais baixo, temos o ponto ( 0,0 ) pertencendo à curva, então:

0 = T 0 μ + K ⇒ K = - T 0 μ

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1     ( 1 )

Sendo T 0 a tração horizontal no ponto mais baixo da corda e μ a intensidade da força por metro da corda. Outra equação dada pelo livro relaciona a tração T em qualquer ponto da corda de coordenada x com a tração T 0 que age no ponto mais baixo:

T = T 0 cosh ⁡ μ x T 0       ( 2 )

Devemos descobrir o ponto de tração máxima da corda, e então aplicar o caso limite onde a tração nesse ponto é igual à máxima admissível pelo cabo. Com isso iremos aplicar a eq. (2) e encontrar μ , a intensidade de força atuante na corda por comprimento quando coberta de gelo.

Passo 2

Primeiro vamos usar a eq. (1) para obtermos o valor de μ . Se a origem é no ponto mais baixo, o ponto B tem coordenada y igual a 10 m e o ponto A tem coordenada y igual a 40 m. Além disso a distância entre os dois pontos é de 200 m:

x B - x A = 200

Pela fórmula (1):

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Primeiro aplicamos a fórmula para x B :

10 = T 0 μ cosh ⁡ μ x B T 0 - 1

Agora para A , mas trocando x A por x B - 200 :

30 = T 0 μ cosh ⁡ μ ( x B - 200 ) T 0 - 1

Trocamos T 0 / μ por z , e então resolvemos numericamente as duas equações com auxílio de um computador. Então obtemos os valores:

z = T 0 μ = 227   m

x B = 67,1   m

Então descobrimos também o valor de x A :

x A = x B - 200 = 67,1 - 200 = - 132,9   m

Passo 3

Agora vamos olhar para a equação (2):

T = T 0 cosh ⁡ μ x T 0

Como o cosseno hiperbólico é uma função que cresce com o aumento do módulo de x , a tração máxima vai ocorrer o mais longe possível da origem, ou seja, no ponto A . Então jogamos na fórmula o valor x A = - 132,9   m e T = 75000   N , já substituindo μ / T 0 pelo valor encontrado de 1 / 227 :

75000 = T 0 cosh ⁡ - 132,9 227 ⇒ T 0 = 75000 1,176 = 63780   N

Então obtemos μ através de T 0 :

T 0 μ = 227 ⇒ μ = T 0 227 = 63780 227

⇒ μ = 281   N / m

Passo 4

Agora temos o valor total μ do peso por metro no cabo. Esse peso será do peso do próprio cabo mais o peso do gelo:

μ c a b o = 20   k g m × 9,81 m s 2 = 196,2   N / m

μ g e l o = 9,81 ρ

Então:

μ = μ c a b o + μ g e l o ⇒ 281 = 196,2 + 9,81 ρ

⇒ 9,81 ρ = 281 - 196,2 = 84,8

ρ = 84,8 9,81 = 8,64   k g / m

Como calculamos os valores de x A e x B sem precisarmos do valor de ρ , a quantidade de gelo não mudará a configuração do fio, apenas mudando m módulo da tração em cada ponto.

Resposta

ρ = 8,64   k g / m

A quantidade de gelo não muda a configuração do fio.

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