Enunciado

Determine a altura h da rampa D que o carrinho da montanha-russa de 200 kg atingirá se for lançado em B com uma velocidade apenas suficiente para dar a volta no topo do loop em C sem deixar os trilhos. O raio de curvatura em C é ρ C = 25 m.

Passo 1

O enunciado nos deu as seguintes informações:

Massa do carrinho: m = 200   k g ;

Raio de curvatura em C : ρ C = 25   m .

O carrinho deve ser lançado com velocidade apenas suficiente para realizar o loop em C . Isso nos diz que, em C , o carrinho estará na iminência de perder contato com a pista e que, neste ponto, a força normal tenderá à zero. Logo, podemos considerar que N = 0 neste ponto.

Devemos detrminar a velocidade v de lançamento do carrinho para que ele atenda essa restrição.

Inicialmente, desenhamos o diagrama de corpo livre do carrinho:

Passo 2

Aplicando a Equação de Movimento, temos

No eixo n :

∑ F n = m a n

N + W = m a n

Sabemos que a n = v 2 r , logo

0 + ( 200 ) ( 9,81 ) = ( 200 ) v C 2 25

v C = 15,66   m / s

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Princípio do Trabalho e Energia.

Entre os ponto B e C :

Temos que

T B + ∑ U B - C = T C

Logo,

T B = 1 2 m v B 2 = 100 v B 2

T C = 1 2 m v C 2 = 24525

U B - C = - W 35 = - 200 9,81 35 = - 68670

O trabalho realizado é negativo pois no trajeto B - C o sentido da força peso é oposto ao deslocamento do carrinho.

Substituindo os valores na equação inicial, obtemos

100 v B 2 - 68670 = 24525

v B = 30,53   m / s

Entre os pontos B e D :

Em D , a velocidade do carrinho será igual à zero, pois neste ponto, queremos descobrir a altura h máxima que ele atingiria.

Temos que

T B + ∑ U B - D = T D

Logo,

T B = 1 2 m v B 2 = 93195

T D = 1 2 m v D 2 = 0

U B - C = - W h = - 200 9,81 h

Aqui, o trabalho realizado também é negativo pois a força peso atua no sentido oposto ao deslocamento h .

Substituindo os valores na equação inicial, obtemos

93195 - 200 9,81 h = 0

h = 47,5   m

Resposta

h = 47,5   m

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