Enunciado

Determine a área A da superfície curva A B C D do sólido de revolução mostrado.

Passo 1

A área de uma superfície de revolução em torno de um eixo é dada por:

A = 2 π r - L

Onde L é o comprimento da linha que é revolucionada e r - é o “raio médio”, ou seja, a coordenada x do centroide da linha (se considerarmos a linha desenhada no plano x y e que vai girar em torno de z ). Nossa figura que é revolucionada é um quarto de circunferência, que tem a distância do centro de massa (horizontal e vertical) até o centro conhecida e igual a

2 a π

Como temos só um quarto da revolução inteira, então na verdade nossa fórmula fica:

A = 2 π r - L 4 = π r - L 2

Passo 2

Primeiro vamos calcular o comprimento do arco:

L = 2 π a 4 = π a 2

Agora vamos achar r - , olhando o desenho:

r - = 2 a - 2 a π = 2 π a π - 2 a π = 2 a π - 1 π

Passo 3

Então calculamos a área:

A = π r - L 2 = π 2 × 2 a π - 1 π × π a 2 = π π - 1 a 2 2

Resposta

π π - 1 a 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O trocador de calor irradia energia térmica a uma taxa de 2500k J / h para cada metro quadrado de sua área superficial. Determine quantos joules ( J ) são irradiados dentro de um período de 5 horas.
Determine a altura h à qual o líquido deve ser vertido dentro do copo cônico de modo que atinja três quartos da área de superfície no interior do copo. Para o cálculo, desconsidere a espessura do copo
A corrente da esquerda para a direita no fluxo causa um arrasto uniforme de 4 lb por pé do fluxo cruzado no cabo flutuante que é conectado aos postes A e B. Determine as tensões mínimas e máximas no c
Um rebocador motorizado reboca uma barcaça com um cabo que tem uma massa de 14 kg por metro de comprimento. Observa-se que a tangente ao cabo no ponto A é horizontal. Determine as tensões em A e B.
Um cabo pesando 25 newtons por metro de comprimento é suspenso do ponto A e passa sobre a pequena polia em B. Calcule a massa m do cilindro acoplado que produzirá o afundamento de 9 m. Determine també