Enunciado

Um cabo pesando 25 newtons por metro de comprimento é suspenso do ponto A e passa sobre a pequena polia em B. Calcule a massa m do cilindro acoplado que produzirá o afundamento de 9 m. Determine também a distância horizontal de A a C. Por causa da pequena razão de curvatura para amplitude, use a aproximação de um cabo parabólico.

Passo 1

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre do cabo.

Podemos ver que as coordenadas dos pontos A e B são:

A - x A ; 9

B x B ; 21

Também podemos ver que a distância horizontal entre A e B é:

x A + x B = 100                     ( 1 )

E o peso do cabo por unidade de comprimento é:

w = 25   N/m

Observe que os pontos A e C estão na mesma altura, portanto as distâncias horizontais xA e xc são iguais.

x A = x C

Sabendo disso, podemos escrever a distância horizontal entre os pontos A e C como:

X A C = 2 x A                     ( 2 )

Passo 2

Uma vez que o cabo é aproximado como parabólico, sua função é:

y = w x 2 2 T 0

A partir daqui, podemos expressar T0 como:

T 0 = w x 2 2 y

Finalmente, substitua w por seu valor para obter:

T 0 = 25 x 2 2 y                     ( 3 )

Podemos determinar a componente vertical da tensão no cabo (T0) colocando as coordenadas dos pontos A e B na expressão (3).

Ponto A:

T 0 = 25 ∙ x A 2 2 ∙ 9

Passo 3

A partir daqui, podemos expressar xA como:

x A = 18 25 T 0                     ( A )

Ponto B:

T 0 = 25 ∙ x B 2 2 ∙ 21

A partir daqui, podemos expressar xB como:

x B = 42 25 T 0                     ( B )

A seguir, podemos substituir xa e xb na equação (1) pelas expressões (A) e (B)

9 25 T 0 + 21 25 T 0 = 100

9 25 ∙ T 0 + 21 25 ∙ T 0 = 100

T 0 9 25 + 21 25 = 100

A partir daqui, podemos expressar T 0 como:

T 0 = 100 9 25 + 21 25 = 65.94             / ∙ ( ) 2

Quadrado ambos os lados da equação para calcular o valor do componente horizontal da tensão

T 0 = 65.94 2 = 4348.17   N

Colocando o valor de T0 na expressão (A), podemos determinar xA.

x A = 9 25 ∙ 4348.17 = 39.56   m

Finalmente, substitua xA por seu valor na equação (2)

X A C = 79.13   m

Passo 4

Observe que, para determinar a tensão no cabo no ponto B, precisaremos determinar a distância xB. Podemos fazer isso colocando o valor de xA na equação (1) ou T0 na equação (B).

1                 →                 39.56 + x B = 100                 ⇒                 x B = 60.44   m

Como sabemos o peso do cabo por metro, coordenada x do ponto B e o componente horizontal da tensão, podemos calcular a tensão no ponto B.

T B = T 0 2 + w 2 ∙ x B 2

T B = 2174.08 2 + 25 2 ∙ 60.44 2 = 2647.59   N

Finalmente, iremos isolar e desenhar o diagrama de corpo livre do cilindro.

Observe que a tensão no cabo preso ao cilindro é igual à tensão no cabo no ponto B por causa da polia.

Passo 5

Equacionando a soma das forças na direção y a zero, podemos determinar a massa m

∑ F y = 0

2647.59 - m g = 0

m = 2647.59 g

m = 2647.59 9.81

m = 269.89   kg

Resposta

X A C = 79.13   m

m = 269.89   kg

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