Enunciado

Determine o centroide do sólido obtido pela rotação da área sombreada da figura em torno do eixo x .

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é perceber que, pela simetria da área sombreada, teremos y - = 0 e z - = 0 . Agora, como a rotação da área irá formar um parabolóide, vamos escolher um elemento diferencial de volume com área π r 2 e espessura d x , então:

d V = π r 2 d x

E, nesse caso, temos:

x - E L = x

Nesse caso, chamando y = r na equação fornecida no enunciado, temos:

r = 1 - 1 x

E, substituindo esse valor para d V , temos:

d V = π 1 - 1 x 2 d x → d V = π 1 - 2 x + 1 x 2 d x

Passo 2

Agora integrando a expressão anterior para o volume, temos:

∫ d V = ∫ 1 3 π 1 - 2 x + 1 x 2 d x

Resolvendo as integrais, temos:

V = π x - 2 ln ⁡ x - 1 x 1 3

Substituindo os limites de integração, temos:

V = π 3 - 2 ln ⁡ 3 - 1 3 - 1 - 0 - 1

Simplificando a expressão, temos:

V = 0,47   π   m 3

Agora, como nós sabemos que podemos relacionar o centroide de um sólido com seu volume através da seguinte equação:

x - V = ∫ x - E L d V

Passo 3

Olhando a última equação do passo 2, nós já temos o volume, então precisamos calcular o valor da integral do lado direito da equação, então substituindo os valores de x - E L e d V encontrados no passo 1, temos:

∫ x - E L d V = ∫ 1 3 x π 1 - 2 x + 1 x 2 d x

Reescrevendo a integral, temos:

∫ x - E L d V = π ∫ 1 3 x - 2 + 1 x d x

Resolvendo a integral, temos:

∫ x - E L d V = π 1 2 x 2 - 2 x + ln ⁡ x 1 3

Substituindo os limites de integração, temos:

∫ x - E L d V = π 1 2 3 2 - 2 3 + ln ⁡ 3 - 1 2 1 2 - 2 1 + 0

E, simplificando a expressão, temos:

∫ x - E L d V = 1,098 π   m

Agora, substituindo os valores encontrados na última equação do passo 2, temos:

x - V = ∫ x - E L d V → x - 0,47 π = 1,098 π

Isolando x - e resolvendo:

x - = 2,34   m

Resposta

x - = 2,34   m

y - = 0

z - = 0

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