Enunciado

Determine o centroide do sólido obtido pela rotação da área sombreada da figura em torno do eixo x .

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é perceber que, pela simetria da área sombreada, teremos y - = 0 e z - = 0 . Agora, como a rotação da área irá formar um parabolóide, vamos escolher um elemento diferencial de volume com área π r 2 e espessura d x , então:

d V = π r 2 d x

E, nesse caso, temos:

x - E L = x

Nesse caso, chamando y = r na equação fornecida no enunciado, temos:

r = 1 - 1 x

E, substituindo esse valor para d V , temos:

d V = π 1 - 1 x 2 d x → d V = π 1 - 2 x + 1 x 2 d x

Passo 2

Agora integrando a expressão anterior para o volume, temos:

∫ d V = ∫ 1 3 π 1 - 2 x + 1 x 2 d x

Resolvendo as integrais, temos:

V = π x - 2 ln ⁡ x - 1 x 1 3

Substituindo os limites de integração, temos:

V = π 3 - 2 ln ⁡ 3 - 1 3 - 1 - 0 - 1

Simplificando a expressão, temos:

V = 0,47   π   m 3

Agora, como nós sabemos que podemos relacionar o centroide de um sólido com seu volume através da seguinte equação:

x - V = ∫ x - E L d V

Passo 3

Olhando a última equação do passo 2, nós já temos o volume, então precisamos calcular o valor da integral do lado direito da equação, então substituindo os valores de x - E L e d V encontrados no passo 1, temos:

∫ x - E L d V = ∫ 1 3 x π 1 - 2 x + 1 x 2 d x

Reescrevendo a integral, temos:

∫ x - E L d V = π ∫ 1 3 x - 2 + 1 x d x

Resolvendo a integral, temos:

∫ x - E L d V = π 1 2 x 2 - 2 x + ln ⁡ x 1 3

Substituindo os limites de integração, temos:

∫ x - E L d V = π 1 2 3 2 - 2 3 + ln ⁡ 3 - 1 2 1 2 - 2 1 + 0

E, simplificando a expressão, temos:

∫ x - E L d V = 1,098 π   m

Agora, substituindo os valores encontrados na última equação do passo 2, temos:

x - V = ∫ x - E L d V → x - 0,47 π = 1,098 π

Isolando x - e resolvendo:

x - = 2,34   m

Resposta

x - = 2,34   m

y - = 0

z - = 0

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →