Enunciado

Determine o coeficiente mínimo de atrito estático μ s que permitirá que o tambor com cubo interno fixo seja enrolado na inclinação de 15 ° a uma velocidade constante sem escorregar. Quais são os valores correspondentes da força P e da força de atrito F ?

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o valor mínimo do coeficiente de atrito estático μ s necessário para enrolar o tambor a uma inclinação de 15 ° com velocidade constante sem que ocorra deslizamento. Pede ainda para determinar a força P e a força de atrito F para essa condição.

Então bora resolver! Vamos começar analisando o diagrama de corpo livre da estrutura. Para facilitar nossos cálculos, vamos considerar os eixos x e y inclinados em 15 ° acompanhando a inclinação da superfície de apoio.

Onde:

W = m g

Sabemos que o corpo está enrolando sem escorregar com velocidade constante, então:

F = μ s N

Pela condição de equilíbrio do corpo, podemos usar o somatório de forças na direção y para colocar N em função das outras variáveis.

∑ F y = 0

N - W cos ⁡ 15 ° + P sen ⁡ 30 ° - 15 ° = 0

N = m g cos ⁡ 15 ° - P sen ⁡ 15 °

Logo:

F = μ s m g cos ⁡ 15 ° - P sen ⁡ 15 °

Passo 2

Tranquilo né? Fazendo o mesmo para a direção x , temos:

∑ F x = 0

P cos ⁡ 30 ° - 15 ° + F - W sen ⁡ 15 ° = 0

P cos ⁡ 15 ° - μ s m g cos ⁡ 15 ° - P sen ⁡ 15 ° - m g sen ⁡ 15 ° = 0

μ s = m g sen ⁡ 15 ° - P cos ⁡ 15 ° m g cos ⁡ 15 ° - P sen ⁡ 15 °

Passo 3

Conseguimos definir μ s em função das outras variáveis, mas ainda temos duas incógnitas na nossa equação: μ s e P . Para a situação em que o corpo rola de escorregar com velocidade constante, a velocidade no ponto de contato do tubo com a superfície inclinada é considerada nula. Podemos então usar o equilíbrio de momentos em torno desse ponto de contato para encontrar P , já que F e N não produzem momento em torno desse ponto, restando apenas P de incógnita.

∑ M = 0

W sen ⁡ 15 ° * r - P cos ⁡ 30 ° - 15 ° * r + r 2 = 0

P cos ⁡ 15 ° * 3 r 2 = m g sen ⁡ 15 ° * r

P = 2 r * m g sen ⁡ 15 ° 3 r * cos ⁡ 15 °

P = 0,1786 m g

Passo 4

Calma que tá acabando hein? Hahaha Substituindo esse valor de P na equação de μ s do Passo 2, temos:

μ s = m g sen ⁡ 15 ° - 0,1786 m g cos ⁡ 15 ° m g cos ⁡ 15 ° - 0,1786 m g sen ⁡ 15 °

μ s = m g sen ⁡ 15 ° - 0,1786 cos ⁡ 15 ° m g cos ⁡ 15 ° - 0,1786 sen ⁡ 15 °

μ s = 0,094

Apesar do tanto de conta até que foi tranquilo né?

Passo 5

Agora que já temos P , vamos utilizar novamente o equilíbrio de forças na direção x para determinar a força de atrito que foi pedida:

∑ F x = 0

P cos ⁡ 30 ° - 15 ° + F - W sen ⁡ 15 ° = 0

F = m g sen ⁡ 15 ° - 0,1786 m g cos ⁡ 15 °

F = 0,086 m g

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

μ s = 0,094

P = 0,1786 m g

F = 0,086 m g

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