Enunciado

Determine a coordenada x do centro de massa da parte da casca esférica, que tem espessura uniforme, mas fina.

Passo 1

Sabendo que a equação para encontrar o centro de massa é dado por:

  x - =   ∫ x c d m m  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a massa do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de massa, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de massa vamos integrar ele em relação ao ângulo e temos a nossa massa. Lembre-se que:

ρ = d m d A

Logo,

d m = ρ d A

Note que o nosso se o elemento de área for o mesmo que o elemento de massa, então:

d A = ( R d θ ) ( 2 π y )

Que é simplesmente o comprimento 2 π y variando com o ângulo ( R d θ ) .

Observe que, se traçarmos um triângulo, teremos:

s i n θ = y R

Implica que:

y = R s i n θ

Dessa maneira,

d m = 2 π ρ R 2 sin ⁡ θ d θ

Atente aos limites de integração, observe na figura que:

cos ⁡ θ = R 4 R = 1 4

Ou seja, o ângulo está variando de 0 a cos - 1 ⁡ 1 4

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a massa é dada por:

m =   ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 d m = ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 2 π ρ R 2 sin ⁡ θ d θ  

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa massa, sendo que:

m = 2 π ρ R 2 [ - cos ⁡ θ ] cos - 1 ⁡ 1 4 0 = 1,5 π ρ R 2

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centro de massa na coordenada x, vamos resolver a integral:

∫ x c d m

Depois é só dividir pela massa que teremos o ponto. Como já conhecemos dm é só manipulação. Como também,

cos ⁡ θ = x R

Temos:

∫ x c d m =   ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 ( R c o s   θ )   2 π ρ R 2 sin ⁡ θ d θ

Assim,

∫ x c d m =   2 π ρ R 3 ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

∫ x c d m = π ρ R 3 ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 sin ⁡ 2 θ d θ  

∫ x c d m = π ρ R 3 - 1 2 cos ⁡ 2 θ cos - 1 ⁡ 1 4 0   = 15 16 π ρ R 3

Passo 5

Agora substituindo na equação do centro de massa, temos:

y - = ∫ x c d m m = 15 16 π ρ R 3 1,5 π ρ R 2 = 5 8 R

Resposta

  x - = 5 8 R  

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Localize o centroide x ¯ ,y ¯ do elemento uniforme. Calcule as integrais usando um método numérico.
Localize o centroide y ¯ da área sombreada.
Localize o centroide y ¯ da área.
Localize o centroide x ¯ da área.
Localize o centroide y ¯ da área sombreada.