Localize o centroide x ¯ ,   y ¯ do elemento uniforme. Calcule as integrais usando um método numérico.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Para determinarmos o centro de massa deste elemento homogêneo, devemos determinar a posição do elemento diferencial.

Neste caso, o elemento difrencial se encontra sobre a curva, em um ponto arbitrário ( x ,   y ) .

x ¯ = ∫ L x d L   ∫ L d L ,     y ¯ = ∫ L y d L   ∫ L d L

Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos escrever nosso elemento d L :

d L = d x 2 + d y 2 = d y d x 2 + 1   d x

Mas se y = a cos ⁡ π a x , temos:

d L = d d x a cos ⁡ π a x 2 + 1   d x

d L = - π sin ⁡ π a x   2 + 1   d x

d L = π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x

Em seguida, devemos substituir a derivada que encontramos na relação para o x ¯ .

Ela é dada por:

x ¯ = ∫ L x d L   ∫ L d L

Primeiro, vamos determinar o numerador desta relação:

∫ L x d L = ∫ 0 a 2 x π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x

Já o denominador:

∫ L d L = ∫ 0 a 2 π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x

Portanto:

x ¯ = ∫ 0 a 2 x π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x   ∫ 0 a 2 π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x

Integrando, chegamos em:

x - = 0,299 a

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, para determinarmos a posição y do centro de massa:

y ¯ = ∫ L y d L   ∫ L d L

Lembrando que y = a cos ⁡ π a x , temos:

∫ L y d L = ∫ 0 a 2 a cos ⁡ π a x π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x

Com isso, temos que:

y ¯ = ∫ L y d L   ∫ L d L = ∫ 0 a 2 a cos ⁡ π a x π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x ∫ 0 a 2 π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x

Calculando as integrais...

y - = 0,357 a

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

x - = 0,299 a

y - = 0,357 a

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