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Determine a coordenada y do centroide da área sombreada

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  y - = ∫ y d A A

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área, e sabendo que a área é dada por:

A = 1 4 π r 2 = 1 4 π a 2 - π a 2 2 = 3 16 π a 2    

Passo 3

Antes de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada Y, vamos resolver a integral:

∫ y c d A

Mas antes, atente para quem vai ser y c . Note que:

s i n θ = y c r

Pois y c é a altura e se aplicarmos o seno podemos deixar em função do raio de o ângulo. Dessa maneira,

∫ y c d A = ∫ ∫ r s i n   θ r   d r   d θ

∫ y c d A = ∫ π 4 3 π 4 ∫ a 2 a sin ⁡ θ r 2 d r d θ

Resolvendo a integral interna, temos:

∫ π 4 3 π 4 sin ⁡ θ 7 24 a 3 d θ   = 7 24 a 3 - cos ⁡ θ | 3 π 4 π 4 = 7 2 24 a 3  

Passo 4

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de substituição em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

y - = ∫ y d A A

y - = 7 2 24 a 3 3 16 π a 2 = 14 2 9 π a

Resposta

  y - =   14 2 9 π a  

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Localize o centroide y - da área sombreada.
Localize o centroide y - da área sombreada.
Localize o centroide x - da área sombreada.
Localize o centroide x - da área sombreada.
Localize o centroide x - da área.