Enunciado

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Localize o centroide da área sombreada entre as duas curvas.

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  x - =   ∫ x d A A   e   y - = ∫ y d A A

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação a x e temos a nossa área. Dessa maneira:

A = ∫ d A = ∫ 0 2 ( y 2 - y 1 ) d x

Agora precisamos deixar em função de x para podermos integrar, o problema já nos entrega a função que representa as curvas, logo:

x = y 2 2 2

y 2 = 2 x

Como também:

y 1 = x 3 4

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

A =   ∫ 0 2 ( y 2 - y 1 ) d x =   ∫ 0 2 2 x - x 3 4 d x

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa área, sendo que:

A = ∫ 0 2 2 x - x 3 4 d x = 2 2 3 x 3 2 - x 4 16   2 0

A = 5 3

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada x, vamos resolver a integral:

∫ x c d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Com isso,

∫ x c d A = ∫ 0 2 x ( 2 x - x 3 4 ) d x  

Logo,

∫ x c d A = 2 2 5 x 5 2 - x 5 20 2 0 = 8 5

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de substituição em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

x - = ∫ x c d A A = 8 / 5 5 / 3 = 24 25

Passo 5

Vamos encontrar o centroide em relação a coordenada y.

Com isso, antes de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada y, vamos resolver a integral:

∫ y c d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto.

Cuidado! Para encontrarmos o centroide em relação a y, teremos que ter um cuidado, o ponto Y na nossa delimitação da área está no meio dos extremos, ou seja,

y c = y 1 + y 2 2

Lembre-se que o dA também é dado por:

d A = ( y 2 - y 1 ) d x  

Com isso,

∫ y c d A = ∫ y 1 + y 2 2 ( y 2 - y 1 ) d x = ∫ 0 2 1 2 ( y 2 2 - y 1 2 ) d x  

Logo,

∫ y c d A = ∫ 0 2 1 2 2 x - x 6 16 d x

Dessa maneira:

∫ y c d A = 1 2 x 2 - x 7 7 * 16 2 0 = 10 7

Passo 6

Agora substituindo na equação do centroide, temos:

y - = ∫ y d A A = 10 / 7 5 / 3 = 6 7

Resposta

x - = 24 25 ;   y - = 6 7  

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Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios
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Localize o centroide x - da área sombreada.
Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide y - da área.