Enunciado

Determine a coordenada y do centróide da área sombreada. (Dica: consulte a solução do Problema 5/41.)

Passo 1

Lembre-se da teoria de que as coordenadas do centroide de um objeto podem ser encontradas usando a (s) equação (ões):

X - = Σ m x - Σ m

Y - = Σ m y - Σ m

Z - = Σ m z - Σ m

No entanto, no caso de densidade constante ρ e um objeto bidimensional, podemos escrever a massa como:

m = ρ A

Passo 2

A partir daqui, as equações se tornam

X - = Σ m x - Σ m = Σ ρ A x - Σ ρ A = ρ Σ A x - ρ Σ A = Σ A x - Σ A

Fazendo isso para todas as equações

X - = Σ A x - Σ A

Y - = Σ A y - Σ A

Z - = Σ A z - Σ A

Passo 3

Tenha muito cuidado com a localização do eixo. Eu não posso enfatizar isso o suficiente. Lembre-se de que tudo o que fazemos e o resultado será em relação a esse eixo. Tenha isso em mente e esses problemas se tornam muito mais simples

Aqui, separamos o problema em 2 partes, conforme mostrado na figura. Começaremos com a parte 1, que é a mais fácil. Usando o problema de amostra 5/2 de massa. Uma vez que temos uma figura bidimensional e a densidade é uniforme, estamos apenas interessados na área (ignore a densidade porque ela cancela o que significa que encontramos apenas a área).

m 1 = A 1 = 1 2 π r 2 = 1 2 π 70 2 = 7696.9   mm 2

y - 1 = 4 r 3 π = 4 70 3 π = 29.71   mm

Em seguida, temos uma figura circular aqui, temos que usar os resultados do Problema 5/41 conforme sugerido. O resultado desse problema foi:

m = a 2 π 2 - arcsin ⁡ h a - h a 2 - h 2

y - = 2 3 a 2 - h 2 2 3 a 2 π 2 - arcsin ⁡ h a - h a 2 - h 2

Passo 4

No nosso caso h = 20 mm e a = 50 mm, portanto (este é um orifício, portanto temos massa negativa):

m = - a 2 π 2 - arcsin ⁡ h a - h a 2 - h 2 = - 50 2 π 2 - arcsin ⁡ 20 50 - 20 50 2 - 20 2

= - 2500 1.16 - 916.51 = - 1981.7   mm 2

E:

y - 2 = 2 3 a 2 - h 2 2 3 m 2 = 2 3 50 2 - 20 2 2 3 1981.7 = 64156 1981.7 = 32.37   mm

Passo 5

Temos todas as informações de que precisamos para chegar a uma conclusão, então escrevemos:

Y - = m 1 y - 1 + m 2 y - 2 m 1 + m 2 = 7696.9 29.71 - 1981.7 32.37 15394 - 1981.7 = 28.78   mm

Resposta

Separe as figuras em 2 e, em seguida, observe a solução do Problema 5/41. Certifique-se de usar grad ao calcular as funções trisonométricas!

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