Enunciado

Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga.

Passo 1

Para determinar os diagramas de esforço, em primeiro lugar as reações de apoio devem ser determinadas.

Em seguida, o eixo deve ser seccionado em posições a partir da extremidade esquerda que se estendem para partes entre forças, momentos ou carga distribuídas.

Para cada distância x (espaço entre a extremidade esquerda e o ponto escolhido para seccionar), o diagrama de corpo livre deve ser feito indicando o esforço cortante V e o momento fletor M em suas convenções positivas, tal que V é obtido através da soma das forças verticais e M é obtido através da soma dos momentos em relação a extremidade esquerda.

Enfim, com os valores dessas duas variáveis determinadas é possível desenhar os diagramas de esforços.

Passo 2

Deve-se lembrar que a força resultante gerada por um carregamento triangular é dada por

F R t = 1 2 w x

E a posição do centroide é

x ¯ t = b 3

Deve-se analisar o DCL de toda a viga para encontrar as reações de apoio. Logo, tem-se:

Como não há forças no eixo horizontal, a reação A x é nula. Além disso, as resultantes das cargas distribuídas tem mesma intensidade já que suas áreas de ação são iguais, o que faz com que a reação A y seja nula também.

Com o princípio dos momentos em relação ao ponto A e tendo o sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0 ⇒ F R t 2 3 + 3 3 - M A - F R t 1 3 - 3 3 = 0

M A = 1 2 8 3 4 - 1 2 8 3 2 = 24   k N ∙ m

Passo 3

Após determinar as reações, faz-se uma seção pouco antes do centro e o DCL obtido será:

Tal intervalo analisado é 0 ≤ x < 3   m .

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ - F R t 1 - V 1 = 0

V 1 x = - 1 2 8 x = - 4 x

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M = 0 ⇒ M 1 + F R t 1 x 3 - M A = 0

M 1 x = 24 - 4 x x 3

M 1 x = 24 - 4 x 2 3

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 1 0 = - 4 0 = 0

M 1 0 = 24 - 4 0 2 3 = 24   k N ∙ m

V 1 3 = - 4 3 = - 12   k N

M 1 3 = 24 - 4 3 2 3 = 12   k N ∙ m

Passo 4

Agora, pode-se fazer o mesmo processo para o intervalo seguinte dado por 3 ≤ x < 6   m e que terá um DCL dado por:

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ F R t 2 - F R t 1 - V 2 = 0

V 2 x = 1 2 8 x - 3 - 1 2 8 3

V 2 x = 4 x - 12 - 12

V 2 x = 4 x - 24

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M = 0 ⇒ M 2 + F R t 1 x - 3 + 3 3 - M A - F R t 2 x - 3 - x - 3 3 = 0

M 2 x = 24 + 1 2 8 x - 3 2 3 x - 2 - 1 2 8 3 x - 2

M 2 x = - 7,5 x + 75 - 1 2 10 x - 3 2 x 3 - 2

M 2 x = 8 3 x 2 - 28 x + 72

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 3 = 4 3 - 24 = - 12   k N

M 3 = 8 3 3 2 - 28 3 + 72 = 12   k N ∙ m

V 6 = 4 6 - 24 = 0

M 6 = 8 3 6 2 - 28 6 + 72 = 0

Passo 5

Portanto, inserindo os resultados do esforço cortante obtidos no diagrama tem-se:

E para os resultados do momento fletor:

Resposta

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