Enunciado

Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga.

Passo 1

Para determinar os diagramas de esforço, em primeiro lugar as reações de apoio devem ser determinadas.

Em seguida, o eixo deve ser seccionado em posições a partir da extremidade esquerda que se estendem para partes entre forças, momentos ou carga distribuídas.

Para cada distância x (espaço entre a extremidade esquerda e o ponto escolhido para seccionar), o diagrama de corpo livre deve ser feito indicando o esforço cortante V e o momento fletor M em suas convenções positivas, tal que V é obtido através da soma das forças verticais e M é obtido através da soma dos momentos em relação a extremidade esquerda.

Enfim, com os valores dessas duas variáveis determinadas é possível desenhar os diagramas de esforços.

Passo 2

Deve-se lembrar que a força resultante gerada por um carregamento triangular é dada por

F R t = 1 2 w x

E a posição do centroide é

x ¯ t = b 3

Enquanto que para um carregamento retangular tem-se

F R r e t = w x

E

x ¯ r e t = b 2

Deve-se analisar o DCL de toda a viga para encontrar as reações de apoio. Logo, tem-se:

Como não há forças no eixo horizontal, a reação A x é nula.

Com o princípio dos momentos em relação ao ponto A e tendo o sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0 ⇒ B y L - F R r e t L 2 - F R t L + L 3 = 0

B y = w 0 L L 2 + 1 2 w 0 L ( L + L 3 )   L = w 0 L 2 7 3

Sendo assim, aplicando o equilíbrio de forças para o eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ A y + B y - F R r e t - F R t = 0

A y = w 0 L + 1 2 w 0 L - w 0 L 2 7 3 = w 0 L 3

Passo 3

Após determinar as reações, faz-se uma seção pouco antes do centro e o DCL obtido será:

Tal intervalo analisado é 0 ≤ x < L   m .

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ A y - F R r e t - V 1 = 0

V 1 x = w 0 L 3 - w 0 x

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M = 0 ⇒ M 1 + F R r e t x 2 - A y x = 0

M 1 x = w 0 L 3 x - w 0 x x 2

M 1 x = w 0 L 3 x - w 0 2 x 2

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 0 = w 0 L 3 - w 0 0 = w 0 L 3

M 0 = w 0 L 3 0 - w 0 2 0 2 = 0

V L = w 0 L 3 - w 0 L = - 2 w 0 L 3

M L = w 0 L 3 L - w 0 2 L 2 = - w 0 L 2 6

Passo 4

Agora, pode-se fazer o mesmo processo para o intervalo seguinte dado por L ≤ x < 2 L e que terá um DCL dado por:

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ A y + B y - F R r e t - F R t - V 2 = 0

V 2 x = w 0 L 3 + 7 w 0 L 6 - w 0 L - 1 2 w 0 x - L

V 2 x = w 0 L - 1 2 w 0 x

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M = 0 ⇒ M 2 + F R r e t x - L 2 + F R t x - L - x - L 3 - A y x - B y x - L = 0

M 2 x = w 0 L 3 x + 7 w 0 L 6 x - L - w 0 L x - L 2 - 1 2 w 0 x - L x - L - x - L 3

M 2 x = 1 3 + 7 6 - 1 w 0 L x + - 7 6 + 1 2 w 0 L 2 - 1 2 w 0 x - L 2 x 3 - 2 L 3

M 2 x = 3 6 w 0 L x - 4 6 w 0 L 2 - 1 3 w 0 x 2 + 2 3 w 0 L x - 1 3 w 0 L 2

Logo,

M 2 x = - 1 3 w 0 x 2 + 7 6 w 0 L x - w 0 L 2

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V L = w 0 L - 1 2 w 0 L = w 0 L 2

M L = - 1 3 w 0 L 2 + 7 6 w 0 L L - w 0 L 2 = - w 0 L 2 6

V 2 L = w 0 L - 1 2 w 0 2 L = 0

M 2 L = - 1 3 w 0 2 L 2 + 7 6 w 0 L 2 L - w 0 L 2 = 0

Passo 5

Portanto, inserindo os resultados do esforço cortante obtidos no diagrama tem-se:

E para os resultados do momento fletor:

Resposta

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