Enunciado

Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga simplesmente apoiada.

Passo 1

Para determinar os diagramas de esforço, em primeiro lugar as reações de apoio devem ser determinadas.

Há algumas formas de fazer os diagramas depois desse passo. Uma delas é achando as equações desses esforços. A outra é utilizado métodos gráficos. Como o capítulo dessa questão trata de métodos gráficos, é isso que a gente vai usar, ok?

Deve-se lembrar que a força resultante gerada por um carregamento triangular é dada por

F R t = 1 2 w x

E a posição do centroide é

x ¯ t = b 3

O que é válido para um triângulo, MAS nesse caso temos um carregamento simétrico (formado por dois triângulos). Sendo assim, o centroide não será em b / 3 , mas sim na posição média entre os dois triângulos.

x - t = 3 m

Para a resultante, ela vai permanecer na mesma ideia, pois será a soma da resultante dos dois triângulos.

F R t = 2 × 1 2 w x

F R t = 2 × 1 2 10 × 3

F R t = 30 k N

Deve-se analisar o DCL de toda a viga para encontrar as reações de apoio. Logo, tem-se:

Como não há forças no eixo horizontal, a reação A x é nula.

Com o princípio dos momentos em relação ao ponto A e tendo o sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0 ⇒ B y 6 - 10 + F R 3 = 0

B y = 10 + 30 3 6 = 20   k N

Sendo assim, aplicando o equilíbrio de forças para o eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ A y + B y - 10 - F R = 0

A y = 10 + 1 2 10 6 - 20 = 20   k N

Uma observação antes de começar. Vamos lembrar duas coisas:

- se a derivada de uma função é positiva, nesse intervalo a função cresce, caso contrário, descresce.

- se a derivada segunda de uma função for positiva, a concavidade dela é para cima, caso contrário para baixo.

Agora sim, bora!

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama do cortante pelo método gráfico. Basicamente o que a gente faz nele é seguir setinhas (os sentidos e magnitude das forças).

Em A ,   temos a reação para cima, que vale 20   k N . Então a gente sobe esse valor.

Aí de cara, a gente acha um carregamento distribuído em forma de triângulo. Como a gente lida com esse cara? A gente vai pensar naquelas relações de derivada entre o carregamento e V x e suas implicações.

Como nosso carregamento é uma função linear, o cortante precisa ser uma função de um grau a mais, porque

d V x d x = w x

Então o cortante precisa ser uma função de segundo grau. Com qual concavidade? Cara, essa relação acima vale para carregamentos positivos, no nosso caso, onde o carregamento está para baixo, temos:

d V x d x = - w x → d 2 V x d x 2 = - w ' x

O que nos diz se no intervalo, o carregamento w x for crescente ( w ' x > 0 ) , a concavidade é para baixo, caso contrário, é para cima. No primeiro triângulo, temos o primeiro caso, então a concavidade é para baixo.

No gráfico, a gente vai descer (no sentido das setinhas do carregamento) o valor da resultante R desse primeiro triângulo, na forma de uma parábola com concavidade para baixo, a partir do ponto que a gente estava até x = 3 . Fica assim:

R = 3 10 2 = 15   k N

E no gráfico:

Como a gente encontra uma força concentrada, nesse ponto, também descemos verticalmente 10   k N . Depois a gente reencontra outra carregamento distribuído triangular.

Já que w x descresce aí, nossa concavidade vai ficar para cima. Novamente a gente desce a resultante desse triângulo até x = 6 , sobe verticalmente o valor da reação nesse ponto depois. O resultado final é:

Passo 3

Agora para o diagrama de momento, a gente calcula os valores dos momentos nos pontos críticos, que no nosso caso, são os apoios, as extremidades e onde há mudança de carregamento.

Para x = 0 , M = 0 e para x = 6 , M = 0 , porque são apoios na extremidades e sem momentos concentrados.

A mudança de carregamento ocorre em x = 3   m . Então a gente calcula o momento nesse ponto, que vamos chamar de C .

Imagina que a gente cortou nossa viga no meio, olhou para a esquerda e posiocionou M C na seção no sentido anti-horário (conveção positiva para o esforço interno olhando para a direita).

∑ M C = 0

M C - A y 3 + 10 3 2 1 3 3 = 0

M C = 60 - 15 = 45   k N . m

Depois disso, a gente acha o momento máximo. Isso ocorre em V = 0 . Pela simetria do gráfico do cortante, isso vai acontecer em x = 3   m . Já calculamos. Vamos seguir!

E sabendo que

d M d x = V

Percebemos que o momento vai ser um polinômio do terceiro grau. E como

d 2 M d x 2 = V ' x

Se o cortante for descrescente, a concavidade do momento é para baixo. E isso é exatamente o que acontece no nosso caso.

Então o momento vai ser um polinômio de terceiro grau, com concavidade para baixo, extremos em zero e máximo em 45   k N . m . Assim:

Resposta

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A haste ABC é dobrada em forma de um arco de círculo de raio R. Sabendo que θ = 6 0 ° , determine a reação em ( a ) em B, ( b ) em C.
Determine a tração em cada cabo e a reação em D.
Desprezando o atrito, determine a tração no cabo ABD e a reação em C quando θ = 45 ° .
Determine as reações em A e B quando aα = 0 ,bα = 90 ° .
Desprezando o atrito, determine a tração no cabo ABD e a reação em C quando θ = 60 ° .