Enunciado

Determine a distância a entre os apoios em termos do comprimento L da viga de modo que o momento na viga simétrica seja zero no centro da viga.

Passo 1

Para determinar o que se pede, deve-se fazer o diagrama de corpo livre dos membros da viga para que seja possível determinar alguma reação agindo nela. Após isso, deve-se seccionar o corpo nos pontos de referência e fazer a análise dessas seções, ou seja, fazer a análise das reações internas de cada membro seccionado.

Deve-se lembrar que para um carregamento retangular a resultante gerada pela mesma é dada por:

F R r e t = w x

E a posição do seu centroide é dada por:

x ¯ r e t = b 2

Já para um carregamento triangular, é dado por:

F R t = 1 2 w x

E:

x ¯ t = b 3

Passo 2

Para iniciar, podemos analisar a viga inteira para determinar o valor das reações de apoio tendo que o seu DCL será:

Tal que, aplicando o princípio dos momentos para o ponto B e considerando o sentido anti-horário como sendo positivo, tem-se:

∑ M B = 0 ⇒ F R 1 a + L - a 2 3 + F R 2 a 2 - A y a - F R 3 L - a 2 3 = 0

A y = 1 2 w L - a 2 a + L - a 6 + w a a 2 - 1 2 w L - a 2 L - a 6 a

Rearranjando a equação:

A y = 1 2 w L - a 2 a + L - a 6 - L - a 6 + w a 2 2 1 a

A y = 1 2 w L - a 2 + w a 2

Tal que:

A y = w L 4 + w a 4 = w 4 L + a

Passo 3

Portanto, fazendo um “corte” no centro da viga e fazendo o DCL da seção, tem-se:

A partir disso, é possível aplicar as equações de equilíbrio, tal que para o momento o sentido positivo será o anti-horário.

Logo, aplicando o princípio dos momentos em relação ao centro e lembrando que a condição é que o momento seja nulo neste ponto:

∑ M C = 0 ⇒ M + F R 1 a 2 + L - a 2 3 + F R 2 a 2 2 - A y a 2 = 0 ; M = 0

0 + 1 2 w L - a 2 a 2 + L - a 6 + w a 2 a 4 - w 4 L + a a 2 = 0

1 2 w L - a 2 L 6 + a 3 + w a 2 8 - 1 4 w L a 2 + a 2 2 = 0

Multiplicando toda a equação por 4 / w :

L - a L 6 + a 3 + a 2 2 - L a 2 + a 2 2 = 0

- a 2 3 - 2 a L 6 + L 2 6 = 0

Esta equação, multiplicada por - 6 , pode ser reescrita como:

2 a 2 + 2 a L - L 2 = 0

Passo 4

Chegando a esta equação de segundo grau, é possível resolvê-la de diversas formas tal que as suas soluções serão:

a 1 = 0,366 L

a 2 = - 1,366 L

Como a questão se trata de um comprimento, o valor negativo não é válido e, logo, o valor aceito é a outra alternativa. Portanto,

a = 0,366 L

Resposta

a = 0,366 L

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

129- Desenhe os diagramas de cortante e de momento para a viga carregada e determine o módulo máximo M do momento fletor.
127- Desenhe os diagramas de cortante e de momento para a viga em balanço linearmente carregada, repetida aqui do Prob. 5/97. Determine o módulo máximo do momento fletor M .
124- Construa o diagrama do momento fletor para o eixo em balanço A B , da unidade rígida mostrada.
130- Desenhe os diagramas de cortante e de momento para a viga em balanço carregada, para a qual o momento M 1 é ajustado de modo a produzir um momento nulo na extremidade engastada da viga. Determine
131- Desenhe os diagramas e de momento para a viga linearmente carregada mostrada. Determine o módulo máximo do momento fletor M .