Enunciado

Determine a força em cada um dos elementos conectados às articulações de A até F da treliça de telhado abobadado mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.

Passo 1

Vamos começar o exercício desenhando o diagrama de corpo livre da treliça:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

A x = 0

Agora aplicando o somatório de momento em relação ao ponto K, temos:

+ ↺ ∑ M K = 0

1,2 9,6 - A y 9,6 + 2,4 8 + 2,4 6,4 + 1,2 4,8 = 0 → A y = 5,4   k N

Passo 2

Agora vamos analisar o nó A:

Aplicando semelhança de triângulos entre o triângulo de forças e o de comprimento, temos:

F A B 1,79 = F A C 1,6 = 4,2 0,8

Pegando a primeira e terceira parcelas, temos:

F A B 1,79 = 4,2 0,8 → F A B = 9,39   k N   ( C )

Agora analisando a segunda e terceira parcelas:

F A C 1,6 = 4,2 0,8 → F A C = 8,4   k N   ( T )

Agora vamos analisar o nó B:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

1,6 1,79 F B D + 0,8 1,13 F B C + 1,6 1,79 9,39 = 0 → F B D = - 9,39 - 0,792 F B C

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

0,8 1,79 F B D - 0,8 1,13 F B C + 0,8 1,79 9,39 - 2,4 = 0

Substituindo o valor de F B D encontrado nessa equação:

0,8 1,79 ( - 9,39 - 0,792 F B C ) - 0,8 1,13 F B C + 0,8 1,79 9,39 - 2,4 = 0

F B C = - 2,26   k N → F B C = 2,26   k N   ( C )

E, substituindo esse valor na equação para F B D :

F B D = - 9,39 - 0,792 F B C → F B D = - 7,6   k N → F B D = 7,6   k N   ( C )

Agora vamos analisar o nó C:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

0,8 1,79 F C D + 1,8 1,85 F C E + 0,8 1,13 2,26 - 8,4 = 0 → F C D = 15,2 - 2,177 F C E

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

1,6 1,79 F C D + 0,45 1,85 F C E - 0,8 1,13 2,26 = 0

Substituindo o valor de F C D encontrado nessa equação:

1,6 1,79 ( 15,2 - 2,177 F C E ) + 0,45 1,85 F C E - 0,8 1,13 2,26 = 0

F C E = 7,07   k N   ( T )

E, substituindo esse valor na equação para F C D :

F C D = 15,2 - 2,177 F C E → F C D = - 0,13   k N → F C D = 0,13   k N   ( C )  

Passo 3

Agora vamos analisar o nó D:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

1,6 1,79 F D F + 1 1,524 F D E + 1,6 1,79 7,6 + 0,8 1,79 0,13 = 0 → F D F = - 7,665 - 0,734 F D E

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

0,8 1,79 F D F - 1 , 15 1,524 F D E + 0,8 1,79 7,6 + 1,6 1,79 0,13 - 2,4

Substituindo o valor de F D F :

0,8 1,79 - 7,665 - 0,734 F D E - 1,15 1,524 F D E + 0,8 1,79 7,6 + 1,6 1,79 0,13 - 2,4

F D E = - 2,14   k N → F D E = 2,14   k N   ( C )

Substituindo na equação para F D F :

F D F = - 7,665 - 0,734 F D E → F D F = - 6,1   k N → F D F = 6,1   k N   ( C )

Agora vamos analisar o nó E:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

0,6 2,04 F E F + 1,8 1,85 F E H - 1,8 1,85 7,07 + 1 1,524 2,14 = 0 → F E H = 5,63 - 0,302 F E F

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

1,95 2,04 F E F + 0,45 1,85 F E H - 0,45 1,85 ( 7,07 ) - 1,15 1,524 2,14 = 0

Substituindo o valor de F E H :

1,95 2,04 F E F + 0,45 1,85 5,63 - 0,302 F E F - 0,45 1,85 ( 7,07 ) - 1,15 1,524 2,14 = 0

F E F = 2,23   k N   ( T )

Resposta

F E F = 2,23   k N   ( T )

F D F = 6,1   k N   ( C )

F D E = 2,14   k N   ( C )

F C D = 0,13   k N   ( C )

F C E = 7,07   k N   ( T )

F B D = 7,6   k N   ( C )

F B C = 2,26   k N   ( C )

F A C = 8,4   k N   ( T )

F A B = 9,39   k N   ( C )

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