Enunciado

Determine a força em cada membro da treliça carregada. Todos os triângulos são isósceles.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a força em cada uma das barras da treliça devido as forças de 10   k N e 16   k N aplicadas nos nós B e C , respectivamente. Antes de resolver, vamos fazer o diagrama de corpo livre da treliça para entender melhor o problema:

O ângulo α entre as barras A B , B E , C E e C D e a horizontal é dado por:

tan ⁡ α = 2 3

α = tan - 1 ⁡ 2 3

α = 33,69 °

Passo 2

Para descobrirmos o módulo, direção e sentido das forças atuando nas barras, precisamos sempre partir de um ponto/nó que tenha uma força com módulo, direção e sentido conhecidos.

No caso deste problema vamos começar descobrindo as reações de apoio em A e em D . Começando pelo equilíbrio de momentos em torno do ponto A , o que elimina duas das nossas incógnitas.

∑ M A = 0

D x * 8 - 16 * 3 - 10 cos ⁡ 30 ° * 3 - 10 sen ⁡ 30 ° * 2 = 0

D x = 16 * 3 + 10 cos ⁡ 30 ° * 3 + 10 sen ⁡ 30 ° * 2 8

D x = 10,5   k N

Fazendo agora o equilíbrio de forças nas direções x e y :

∑ F x = 0

D x - A x - 10 sen ⁡ 30 ° = 0

A x = 10,5 - 10 sen ⁡ 30 °

A x = 5,5   k N

∑ F y = 0

A y - 16 - 10 cos ⁡ 30 ° = 0

A y = 16 + 10 cos ⁡ 30 °

A y = 24,66   k N

Passo 3

Agora que nós temos as reações de apoio, podemos fazer o equilíbrio dos nós e encontrar as forças nas barras. Começando pelo nó D , temos:

Para que a treliça esteja em equilíbrio, todos os seus nós também devem estar e o somatório de forças nas direções x e y devem ser nulos. Sendo assim:

∑ F x = 0

D x - C D cos ⁡ 33,69 ° = 0

C D = D x cos ⁡ 33,69 °

C D = 12,62   k N   C

∑ F y = 0

D E - C D sen ⁡ 33,69 ° = 0

D E = 12,62 * sen ⁡ 33,69 °

D E = 7,0   k N   T

Passo 4

Show, feito isso, vamos repetir esse procedimento para alguns outros nós até descobrirmos as forças em todas as barras. Analisando agora o nó C .

E novamente, utilizando a equação de equilíbrio de força na direção x , temos:

∑ F x = 0

C D cos ⁡ 33,69 ° - C E cos ⁡ 33,69 ° = 0

C E = 12,62 cos ⁡ 33,69 ° cos ⁡ 33,69 °

C E = 12,62   k N   T

∑ F y = 0

B C + C D sen ⁡ 33,69 ° + C E sen ⁡ 33,69 ° - 16 = 0

B C = 16 - 12,62 sen ⁡ 33,69 ° - 12,62 sen ⁡ 33,69 °

B C = 2   k N   T

Passo 5

Tá quase acabando hein?! Não desiste não!! Hahaha

Bora analisar o nó E agora!

Fazendo o equilíbrio de forças nas direções x e y :

∑ F x = 0

C E cos ⁡ 33,69 ° - B E cos ⁡ 33,69 ° = 0

B E = 12,62 cos ⁡ 33,69 ° cos ⁡ 33,69 °

B E = 12,62   k N   C

∑ F y = 0

A E - D E - C E sen ⁡ 33,69 ° - B E sen ⁡ 33,69 ° = 0

A E = 7 + 12,62 sen ⁡ 33,69 ° + 12,62 sen ⁡ 33,69 °

A E = 21,0   k N   C

Passo 6

Agora sim: the grand finale!! Hehe

Analisando separadamente o nó B :

Está faltando determinar apenas a força na barra A B , então podemos utilizar o somatório de forças na direção x para determina-la:

∑ F x = 0

B E cos ⁡ 33,69 ° - A B cos ⁡ 33,69 ° - 10 sen ⁡ 30 ° = 0

A B = 12,62 cos ⁡ 33,69 ° - 10 sen ⁡ 30 ° cos ⁡ 33,69 °

A B = 6,61   k N   T

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

A B = 6,61   k N   T

A E = 21,0   k N   C

B C = 2   k N   T

B E = 12,62   k N   C

C D = 12,62   k N   C

C E = 12,62   k N   T

D E = 7,0   k N   T

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