Enunciado

Determine a força em cada membro da treliça e diga se os membros estão sob tração ou compressão. Faça P 1 = 4   k N e P 2 = 2   k N .

Passo 1

Falaa!

O problema que que a gente encontre a força de cada membro mostrando se ele está sendo tracionada ou comprimida. Nesse caso, vamos analisar junta por junta (Método dos nós).

É bom começar por nós onde a geometria já entrega o valor das forças. Repara.

Vamos começar pelo DCL do nó B:

Percebe que essas barras são perpendiculares, do somatório de forças nesses dois eixos perpendiculares já desenhados por elas, temos que

F A B = F B C

F B G = 0

Fofo né, já achamos que uma força é zero. Isso aconteceu porque temos uma barra perpendicular a outras duas, sem nenhuma força externa aplicada.

Passo 2

Uma observação antes de ir para as outras, é que a gente vai achar o cosseno e seno referente as orientações das barras pela geometria das figuras, olhando triângulos visíveis na nossa estrutura, bele? Assim oh:

Daí a gente tira:

s e n   ϕ = 1,5 2 2 + 1,5 2

cos ⁡ ϕ = 2 2 2 + 1,5 2

Como α e ϕ formam 90 ° :

s e n   α = 2 2 2 + 1,5 2

cos ⁡ α = 1,5 2 2 + 1,5 2

cos ⁡ α = 0,6

α = arccos ⁡ 0,6 = 53,12 °

E para θ a gente pode observar:

180 ° = 2 α + θ

θ = 180 ° - 2 53,12

θ = 73,74 °

Pela simetria, acontece o mesmo do lado esquerdo da treliça.

Vamos seguir!

Passo 3

Então, vamos para as forças da junta G , porque tem apenas duas forças desconhecidas e possui uma que sabemos ser 0 . Sabendo que o somatório das forças no eixo y e somatório das forças do eixo x é 0 , pois a estrutura encontra-se em equilíbrio.

No eixo y primeiro:

∑ F y = 0

F C G ⋅ s e n θ + F B G ⋅ s e n ( α ) = 0

F C G ⋅ s e n ( θ ) + 0 = 0

Assim encontramos:

F C G = 0

Agora no eixo x :

∑ F x = 0

F A G - F B G ⋅ cos ⁡ α - F C G ⋅ c o s ⁡ ( θ ) = 0

F A G - 0 - 0 = 0

Então encontramos:

F A G = 0

Passo 4

Agora, vamos analisar as forças da junta D . Reparando que as barras são perpendiculares, a gente pode fazer o somatório de forças nos eixos desenhados pelas barras. Vamos chamar o eixo CE de x ' e o FD de y ' .

O somatório nos eixos deve zerar:

∑ F x ' = 0

F D E - F D C = 0

Assim encontramos:

F D E = F D C

Agora no eixo y ' :

∑ F y ' = 0

F D F - P 2 = 0

F D F - 2 = 0

Então encontramos:

F D F = 2   k N

Nesse caso, estando sob compressão.

Passo 5

E vamos também analisar as forças da junta F . Vamos chamar FD de y ' e o eixo perpendicular a ele de x ' .

No eixo x primeiro:

∑ F x ' = 0

F F E ⋅ s e n   α - F F C ⋅ s e n   α = 0

F F E ⋅ 2 2 2 + 1,5 2 - F F C ⋅ 2 2 2 + 1,5 2 = 0

F F E ⋅ 0,8 - F F C ⋅ 0,8 = 0

Assim encontramos:

F F E = F F C

Agora no eixo y :

∑ F y = 0

F F E ⋅ cos ⁡ α + F F C ⋅ cos ⁡ α - F D F = 0

F F E ⋅ 1,5 2 2 + 1,5 2 + F F C ⋅ 1,5 2 2 + 1,5 2 - F D F = 0

F F E ⋅ 0,6 + F F C ⋅ 0,6 - 2 = 0

Então encontramos:

F F E = F F C = 1,67   k N

Nesse caso, estando sob tração.

Passo 6

Agora, vamos analisar as forças da junta C . Sabendo que o somatório das forças no eixo y e somatório das forças do eixo x é 0 , pois a estrutura encontra-se em equilíbrio.

No eixo x primeiro:

∑ F x = 0

Percebe que o ângulo que F B C e F D C fazem com a vertical é α . E lembra que F C G = 0 , aí a gente nem considera ela na conta

F B C ⋅ s e n   α - F D C ⋅ s e n   α + F F C ⋅ cos ⁡ θ = 0

F B C ⋅ 2 2 2 + 1,5 2 - F D C ⋅ 2 2 2 + 1,5 2 + F F C ⋅ c o s ( 73,74 ° ) = 0

F B C ⋅ 0,8 - F D C ⋅ 0,8 + 1,67 ⋅ c o s ( 73,74 ° ) = 0

Assim encontramos:

F B C - F D C = - 0,58

Agora no eixo y :

∑ F y = 0

F B C ⋅ cos ⁡ α + F D C ⋅ cos ⁡ α - P 1 - F F C ⋅ s e n θ = 0

F B C ⋅ 1,5 2 2 + 1,5 2 + F D C ⋅ 1,5 2 2 + 1,5 2 - P 1 - F F C ⋅ s e n 73,74 ° = 0

F B C ⋅ 0,6 + F D C ⋅ 0,6 - 3 - 1,67 ⋅ s e n ( 73,74 ° ) = 0

Então encontramos:

F B C + F D C = 7,67

Formamos então um sistema de duas variáveis e duas equações:

F B C - F D C = - 0,58 F B C + F D C = 7,67

Então temos:

F B C = 3,54   k N

F D C = 4,12   k N

E como vimos no Passo 1, temos membros com forças semelhantes, então:

F A B = F B C = 3,54   k N

F D E = F D C = 4,12   k N

Ambos em compressão.

Resposta

F B G = 0

F C G = 0

F A G = 0

F D F = 2   k N (Compressão)

F F E = F F C = 1,67   k N (Tração)

F A B = F B C = 3,54   k N (Compressão)

F D E = F D C = 4,12   k N (Compressão)

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