Enunciado

38. A treliça mostrada na figura consiste em nove elementos e é sustentada por uma rótula em A , por duas pequenas hastes de conexão em B e uma pequena haste de conexão em C . Determine a força em cada membro para o carregamento dado:

Passo 1

Bom! Primeiramente vamos fazer o esboço de todas as forças presentes no nosso sistema, o chamado diagrama de corpo livre:

Olhando essa belezinha de figura, de cara já podemos tirar algumas relações:

A z = B z = 0

E também, como as seguintes condições precisam ser satisfeitas:

∑ F x = 0

A x = 0

∑ M B C = 0

A y ⋅ 1,8   m + 7200   N ⋅ ( 2,3   m ) = 0

A y = - 7200   N ⋅ ( 2,3   m ) 1,8   m

A y = - 9200   N

De modo que a força A → é dada por:

A → = ( - 9200   N ) j ^

E pela figura, por simetria, tiramos que:

B y = C y

Façamos o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

2 B y - 7200   N - ( 9200   N ) = 0

B y = 16400 2   N

B y = 8200   N

B → = ( 8200   N ) j ^

Passo 2

Agora, faremos o diagrama de corpo livre para o ponto A do sistema:

Antes de mais nada, vamos definir algumas coordenadas de interesse para nossa análises. São as coordenadadas dos pontos A , B , C , D e E :

A = 0 ; 0 ; 0   m B = 1,8 ; 0 ; 1,8   m C = 1,8 ; 0 ; - 1,8   m D = 1,8 ; 2,4 ; 0   m E = ( 4,1 ; 2,4 , 0 )

Fizemos isso, para obter as forças presentes no ponto A feitas em nossa análise, as quais são obtidas através das seguintes relações:

F → A B = F A B ⋅ A B → A B

F → A D = F A D ⋅ A D → A D

F → A C = F A C ⋅ A C → A C

Onde para encontrar cada vetor posição, por exemplo no caso de A B → , basta subtrair as coordenadas de B pela de A . Já no caso de A C → , basta subtrair as coordenadas de C pela de A e o mesmo ocorre para A D → . Chega de papo e partiu fazer os cálculos:

F → A B = F A B ⋅ 1,8 i ^ + 1,8 k ^ ( 1,8 ) 2 + ( 1,8 ) 2

F → A D = F A D ⋅ 1,8 i ^ + 2,4 j ^ ( 1,8 ) 2 + ( 2,4 ) 2

F → A C = F A C ⋅ 1,8 i ^ - 1,8 k ^ ( 1,8 ) 2 + ( - 1,8 ) 2

F → A B = F A B ⋅ i ^ + k ^ 2

F → A D = F A D ⋅ ( 0,6 i ^ + 0,8 j ^ )

F → A C = F A C ⋅ i ^ - k ^ 2

E como o somatório vetorial das forças precisa ser zero, então temos que:

F → A B + F → A D + F → A C - 9200   N j ^ = 0

F → A B + F → A D + F → A C = 9200   N j ^

Passo 3

Agora, que já temos mais ou menos uma idéia da aparência das forças no ponto A do nosso sisteminha e sabemos que o somatório vetorial delas resulta em zero, vamos fazer o somatório separado das forças em cada componente cartesiano, i ^ , j ^ e k ^ ; já que ele necessariamente também tem que dar zero. Vamos lá:

Primeiro para a componente i ^ :

F A B i ^ 2 + F A C i ^ 2 + 0,6 F A D i ^ = 0

F A B 2 + F A C 2 + 0,6 F A D = 0   ( E q u a ç ã o   I )

Segundo para a componente j ^ :

0,8 F A D j ^ = 9200   N j ^

    F A D = 9200   N 0,8

F A D = 11500   N

Terceiro para a componente k ^ :

F A B k ^ 2 - F A C k ^ 2 = 0

F A B - F A C = 0

F A B = F A C     ( E q u a ç ã o   I I )

Como obtemos na equação I I , que F A B = F A C ; vamos tratar de usar essa relação em ( I ) :

F A B 2 + F A C 2 + 0,6 F A D = 0  

F A B 2 + F A B 2 + 0,6 F A D = 0  

2 F A B = - 0,6 F A D

F A B = - 0,6 ⋅ ( 11500   N ) 2

F A B = - 4879,04   N

E não vamos nos esquecer que:

F A B = F A C = - 4879,04   N

Passo 4

Em seguida, vamos fazer a análise do diagrama de corpo livre para o ponto B :

O somatório vetorial das forças disso precisa ser zero, então temos que:

F → B A + F → B D + F → B E + F → B C + ( 8200 N ) j ^ = 0

F → B A + F → B D + F → B E + F → B C = - ( 8200 N ) j ^

E novamente repetiremos o mesmos raciocínio dos P a s s o s   2 e 3 :

F → B A = F A B ⋅ - i ^ - k ^ 2 = 4879,04   N ⋅ i ^ + k ^ 2

F → B C = - F B C k ^

F → B D = F B D ⋅ B E → B E = F B D ⋅ ( 0,8 j ^ + 0,6 k ^ )

F → B E = F B E ⋅ B E → B E = F B E ⋅ 2,3 i ^ + 2,4 j ^ - 1,8 k ^ 3,78

Separando as componentes cartesianas logo em seguida, obtemos os seguintes resultados:

Para i ^ :

4879,04 i ^ 2 + 2,3 F B E i ^ 3,78 = 0

2,3 F B E 3,78 = - 4879,04 2   N

F B E = - 5670   N

Para j ^ :

0,8 F B D j ^ + 2,4 F B E j ^ 3,78 + 8200 N j ^ = 0

0,8 F B D + 2,4 ( - 5670   N ) 3,78 + 8200 N = 0

0,8 F B D = 2,4 ⋅ ( 5670   N ) 3,78 - 8200 N

F B D = - 5678   N

Para k ^ :

4879,04   N ⋅ k ^ 2 - F B C k ^ - 0,6 F B D k ^ - 1,8 F B E k ^ 3,78 = 0

F B C = 4879,04   N 2 - 0,6 ⋅ ( - 5678   N ) - 1,8 ⋅ ( - 5678   N ) 3,78

F B C ≅ 9560   N

Teríamos que obter a força F C D também. Só que para nossa imensa felicidade essa força é simétrica à força F B D , o que implica dizer que elas são iguais. Logo, temos que F B D = - 5678   N .

Passo 5

Falta apenas analisar o ponto D . Se repararmos bem, há apenas duas forças atuando nesse ponto, a força F → A D e a força que teoricamente queríamos obter, F → D E . A força nos outros elementos a gente desconsidera, já que B D e B C são simétricos de modo que as forças neles, se anulam.Desse jeito, para obter F → D E , façamos o somatório das forças na direção horizontal x :

∑ F x = 0

F D E - 0,6 F A D = 0

F D E = 0,6 ⋅ ( 11500   N )

F D E = 0,6 ⋅ ( 11500   N )

F D E = 6900   N

Resposta

F A B = 4879,04   N     C o m p r e s s ã o

F A C = 4879,04   N   ( C o m p r e s s ã o )

F A D = 11500   N     ( T r a ç ã o )

F B E = 5670   N     ( C o m p r e s s ã o )

F B D = 5678   N     ( C o m p r e s s ã o )

F B C ≅ 9560   N     ( T r a ç ã o )

F D E = 6900   N     ( T r a ç ã o )

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6.49. Uma treliça de telhado de uma água é carregada tal como mostra a figura. Determine a força nos elementos CF, DE e DF.
6.50. Uma treliça de telhado de uma água é carregada tal como mostra a figura. Determine a força nos elementos EG, GH e HJ.
6.53. Uma treliça de telhado Pratt é carregada tal como mostra a figura. Determine a força nos elementos CE, DE e DF.
6.54. Uma treliça de telhado Pratt é carregada tal como mostra a figura. Determine a força nos elementos FH, FI e GI.
Determine a força em cada elemento da treliça mostrada na figura.