Enunciado

Determine a força no elemento G K da treliça simétrica carregada.

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método das seções, partindo a treliça em duas e considerando uma parte dela como se fosse um corpo rígido, e então resolvendo as equações de equilíbrio para esse corpo. Temos interesse na barra G K , então o corte que vamos fazer tem que passar nesse elemento. Vamos então fazer uma linha passando por F G , G K e J K :

Agora temos nossa seção, devemos achar as forças através das equações de equilíbrio.

Passo 2

Temos primeiro que encontrar a força I y feita pelo apoio em I . Pela simetria da treliça e fazendo uma equação de equilíbrio vertical da treliça como um todo, conseguimos achar essa força rapidamente:

A y = I y

∑ F y = 0 ⇒ A y + I y - 6 L = 0 ⇒ 2 I y = 6 L ⇒ I y = 3 L

Então só temos três forças desconhecidas. Para calcular as forças, está faltando determinar os ângulos α e β , que vão entrar nas contas.

Passo 3

Vamos descobrir a coordenada dos pontos I , J , K e G , sendo a origem o centro do arco de 25 m (abaixo do ponto L , x L = 0 ) . Para os pontos I , J e K que estão no arco, temos:

x 2 + y 2 = 25 2 ⇒ y = 625 - x 2

Então:

x K = 3 ⇒ y K = 625 - 3 2 = 616 = 24,82

x J = 6 ⇒ y J = 625 - 6 2 = 589 = 24,27

x I = 9 ⇒ y I = 625 - 9 2 = 544 = 23,32

G está 6 m acima de I então:

y G = y I + 6 ⇒ y G = 29,32

Passo 4

Agora, através das coordenadas dos pontos, conseguimos saber quem são os ângulos α e β . Vamos lá:

tg ⁡ α = y G - y K 3 = 29,32 - 24,82 3 = 1,5

⇒ α = arctg ⁡ ( 1,5 ) = 56,3 °

O ângulo β é o ângulo entre a horizontal e K J :

tg ⁡ β = y K - y J x K - x J = 24,82 - 24,27 3 - 6 = 0,183

⇒ β = arctg ⁡ ( 0,183 ) = 10,39 °

Passo 5

Bom, agora já temos tudo o que precisamos para aplicar as equações do equilíbrio no corpo visando achar G K . Vamos olhar de novo nosso diagrama de corpo livre:

Olhando a figura, vemos que G K e J K tem a linha de ação passando por K . Então se fizermos a equação de momento em torno de K só aparecerá na conta F G de incógnita e então resolveremos diretamente. A altura de G em relação a K é y G - y K . Então:

∑ M K = 0 ⇒ F G y G - y K - L 3 + 3 L 6 - L 2 6 = 0

⇒ F G 29,32 - 24,82 - 3 L + 18 L - 3 L = 0

⇒ 4,5   F G + 12 L = 0 ⇒ F G = - 12 L 4,5 ⇒ F G = - 2,67 L

O sinal negativo indica que a força é de compressão, e não de tração como supomos no desenho.

Passo 6

Agora que só temos duas incógnitas, fazemos as equações de equilíbrio em x e y para encontrar G K .

∑ F x = 0 ⇒ - F G - G K cos ⁡ 56,3 ° - J K cos ⁡ 10,39 ° = 0

Substituindo os valores dos cossenos e F G :

2,67 L - 0,555   G K - 0,984   J K = 0

Isolamos J K pra substituir na próxima equação:

0,984   J K = - 0,555   G K + 2,67 L ⇒ J K = - 0,564   G K + 2,713 L

Agora para y :

∑ F y = 0 ⇒ - G K sen ⁡ 56,3 ° + J K sen ⁡ 10,39 ° - L + 3 L - L 2 = 0

⇒ - 0,832   G K + 0,180   J K + 3 L 2 = 0

Substituimos agora J K pelo valor achado anteriormente, encontramos finalmente o valor de G K :

- 0,832   G K + 0,18 - 0,564   G K + 2,713 L + 3 L 2 = 0

⇒ - 0,832   G K - 0,102   G K + 0,488 L + 1,5 L = 0

⇒ 0,934   G K = 1,988 L ⇒ G K = 2,13 L   ( T )

Como o resultado é positivo, a força é de tração, como suposto.

Resposta

G K = 2,13 L   ( T )

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