Enunciado

Determine a força no elemento C L da treliça carregada. O raio de curvatura da corda superior B C D E F G vale 30 m.

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método das seções, partindo a treliça em duas e considerando uma parte dela como se fosse um corpo rígido, e então resolvendo as equações de equilíbrio para esse corpo. Temos interesse na barra C L , então o corte que vamos fazer tem que passar nesse elemento. Vamos então fazer uma linha passando por C D , C L e M L :

Agora temos nossa seção, devemos achar as forças através das equações de equilíbrio.

Passo 2

Temos primeiro que encontrar a força A y feita pelo apoio em A . Pela simetria da treliça e fazendo uma equação de equilíbrio vertical da treliça como um todo, conseguimos achar essa força rapidamente:

A y = H y

∑ F y = 0 ⇒ A y + H y - 6 L = 0 ⇒ 2 A y = 6 L ⇒ A y = 3 L

Então só temos três forças desconhecidas. Para calcular as forças, está faltando determinar os ângulos α e β , que vão entrar nas contas.

Passo 3

Pra achar os ângulos e também pra sabermos as distâncias na treliça, precisamos descobrir a coordenada dos pontos A , B C , D , L e M sendo a origem o centro do arco de 30 m ( x = 0 entre L e K ). Para os pontos B , C e D que estão no arco, temos:

x 2 + y 2 = 30 2 ⇒ y = 900 - x 2

Achamos facilmente as coordenadas x olhando a distância horizontal dos pontos até o ponto entre L e K . Então:

x B = - 15 ⇒ y B = 900 - - 15 2 = 675 = 25,98

x C = - 9 ⇒ y C = 900 - - 9 2 = 819 = 28,62

x D = - 3 ⇒ y D = 900 - - 3 2 = 891 = 29,85

A está 6 m abaixo de B e 3 m para a esquerda, então:

x A = - 18 ; y A = 25,98 - 6 = 19,98

L e M tem a mesma altura de A , então:

x L = - 3 ; y L = 19,98

x M = - 9 ; y M = 19,98

Passo 4

Agora, através das coordenadas dos pontos, conseguimos saber quem são os ângulos α e β . Vamos lá:

tg ⁡ α = y D - y C 6 = 29,85 - 28,62 6 = 0,205

⇒ α = arctg ⁡ ( 0,205 ) = 11,6 °

O ângulo β é o ângulo entre a horizontal e C M

tg ⁡ β = y C - y M 6 = 28,62 - 19,98 6 = 1,44

⇒ β = arctg ⁡ ( 1,44 ) = 55,2 °

Passo 5

Bom, agora já temos tudo o que precisamos para aplicar as equações do equilíbrio no corpo visando achar C L . Vamos olhar de novo nosso diagrama de corpo livre:

Olhando a figura, vemos que C L e M L tem a linha de ação passando por L . Então se fizermos a equação de momento em torno de L só aparecerá na conta C D de incógnita e então resolveremos diretamente. A linha de força de C D passa por D e a altura de D em relação a L é y D - y L . Então:

∑ M L = 0 ⇒ - 3 L 15 + L 12 + L 6 - C D cos ⁡ 11,6 ° y D - y L = 0

⇒ - 45 L + 12 L + 6 L - 0,98   C D ( 29,85 - 19,98 ) = 0

⇒ - 27 L - 9,673   C D = 0

Então achamos C D :

9,673   C D = - 27 L ⇒ C D = - 27 L 9,673 = - 2,79 L

O sinal negativo indica que a força é de compressão, e não de tração como supomos no desenho.

Passo 6

Agora que já temos C D , fazendo a equação de equilíbrio vertical a incógnita M L não aparece, então obtemos direto C L :

∑ F y = 0 ⇒ 3 L - L - L - C L sen ⁡ 55,2 ° + C D sen ⁡ 11,9 ° = 0

Substituindo os valores dos cossenos e C D :

L - 0,821   C L - 2,79 L ( 0,206 ) = 0

⇒ 0,821   C L = L - 0,575 L = 0,425 L

Então achamos C L :

C L = 0,425 L 0,821 = 0,517 L

Como o resultado é positivo, a força é de tração, como suposto.

Resposta

C L = 0,517 L   ( T )

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