Enunciado

Determine a força no elemento D G da treliça composta. Todas as juntas se situam em linhas radiais subentendendo ângulos de 15° como indicado, e os elementos curvos agem como elementos de duas forças. Distância O C - = O A - = O B - = R .

Passo 1

Vamos calcular a força pelo método das seções, traçando um corte na treliça e fazendo as equações de equilíbrio para uma parte dele como se fosse um corpo rígido. Como estamos interessados no elemento D G , fazemos um corte passando por D E , D G e G H . A parte que sobra é mostrada na figura:

Para aplicarmos as equações de equilíbrio do corpo rígido precisamos primeiramente da força vertical em A . Pela simetria do sistema, a força aplicada em A e B são iguais, e o valor deve ser L / 2 para cima, para que as duas anulem a força para baixo aplicada no meio da treliça. Agora precisamos obter os ângulos que as forças fazem com a horizontal para resolver o problema.

Passo 2

Para encontrar os ângulos β e θ , desenhamos os triângulos O D E e O H G .

Como o triângulo é isósceles, o ângulo que não é o de 30° vale:

θ + 15 ° = 180 ° - 30 ° 2 = 150 ° 2 = 75 ° ⇒ θ = 60 °

Achamos β da mesma forma:

β + 30 ° = 75 ° ⇒ β = 45 °

Não podemos achar α da mesma maneira, então precisamos das coordenadas dos pontos em relação à origem O. Os pontos envolvidos são D e G. G está no círculo de raio 0,9R, sendo o ângulo entre OG e a horizontal 45°. Então:

x G = - 0,9 R cos ⁡ 45 ° = - 0,636 R

y G = 0,9 R sen ⁡ 45 ° = 0,636 R

D está num círculo de raio 1,1R. OD faz 30° com a horizontal. Então:

x D = - 1,1 R cos ⁡ 30 ° = - 0,953 R

y D = 1,1 R sen ⁡ 30 ° = 0,55 R

Agora podemos encontrar o ângulo, através de sua tangente. Temos:

tg ⁡ α = y G - y D x G - x D = 0,636 R - 0,55 R - 0,636 R - - 0,953 R = 0,086 0,317 = 0,217

⇒ α = arctg ⁡ ( 0,217 ) = 12,24 °

Passo 3

Agora já temos os dados necessários e aplicaremos uma equação de momento e duas de força para encontrar D G . Começaremos com o momento em torno de D, pois ali existem duas forças desconhecidas que não aparecem no cálculo, então acharemos G H diretamente. Agora precisamos das coordenadas de H , para calcularmos o momento de G H passando por D . H dista 0,9R da origem e OH está inclinado 15° com a horizontal, então:

x H = - 0,9 R cos ⁡ 15 ° = - 0,869 R

y H = 0,9 R sen ⁡ 15 ° = 0,233 R

Então as distâncias horizontal e vertical de H para D são:

d x = x H - x D = - 0,869 R - ( - 0,953 R ) = 0,084 R

d y = y D - y H = 0,55 - 0,233 = 0,317 R

As componentes vertical e horizontal de G H causam momento anti-horário no ponto D dado por:

d x G H y + d y G H x = 0,084 R G H sen ⁡ 60 ° + 0,317 R ( G H cos ⁡ 60 ° )

= 0,0727 R   G H + 0,1585 R   G H = 0,8855 R   G H

A distância horizontal entre A e D é:

x = x D - x A = - 0,953 R - - R = 0,047 R

Então o momento causado pela força em A no ponto D é:

- x A = - 0,047 R 0,5 L = - 0,0235 R L

Portanto:

∑ M D = 0 ⇒ - 0,0235 R L + 0,8855 R   G H = 0 ⇒ G H = 0,0235 L 0,8855 = 0,0265 L   ( T )

Agora aplicamos os equilíbrios vertical e horizontal:

∑ F x = 0 ⇒ D E cos ⁡ 45 ° + D G cos ⁡ 12,24 ° + G H cos ⁡ 60 ° = 0

Substituindo os cossenos e o valor de G H :

0,707   D E + 0,977   D G + 0,0133 L = 0 ⇒ 0,707   D E = - 0,977   D G - 0,0133 L

∑ F y = 0 ⇒ 0,5 L + D E sen ⁡ 45 ° + D G sen ⁡ 12,24 ° + G H sen ⁡ 60 ° = 0

⇒ 0,5 L + 0,707   D E + 0,212   D G + 0,0229 L = 0

Substituindo o valor de 0,707   D E :

0,5 L - 0,977   D G - 0,0133 L + 0,212   D G + 0,0229 L = 0

⇒ - 0,765   D G + 0,39 L ⇒ D G = 0,39 L 0,765 = 0,51 L

Resposta

D G = 0,51 L

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6.57. Uma treliça de telhado do estádio é carregada al como mostra a figura. Determine a força nos elementos AB, AG e FG.
6.58. Uma treliça de telhado do estádio é carregada al como mostra a figura. Determine a força nos elementos AE, EF e FJ.