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Determine a força no elemento C K da treliça carregada.

Passo 1

Vamos resolver esse problema pelo método das seções, fazendo um corte na treliça e pegando uma parte dela para considerar como um corpo rígido. Como estamos interessados no elemento C K , vamos fazer um corte passando por ele, e pegar o lado esquerdo da treliça. Nosso corte passará por L K , C K e C D :

Passo 2

Primeiramente vamos aplicar equações de equilíbrio para a treliça como um todo, para encontrar as reações em A e B . Como os dois fios que seguram a carga de 1000 kg fazem 60° com a horizontal, temos:

2 T sen ⁡ 60 ° = 1000 g ⇒ T = 1000 × 9,81 2 sen ⁡ 60 ° = 5663,8   N

Pela soma das forças horizontais:

∑ F x = 0 ⇒ A x + B x = 0

Agora as veticais:

∑ F y = 0 ⇒ A y + B y = 1000 g ⇒ A y + B y = 9810   N

Para encontrar A y , precisamos calcular o momento em torno de B da treliça inteira. Mas pra isso precisamos das distâncias dos pontos E e G onde estão aplicadas as trações para o ponto B , então vamos calcular as coordenadas dos pontos.

Passo 3

Vamos então considerar que B e C tem coordenadas (0, 0) e (0, 2.25 m) e calcular as coordenadas de E e G .

Primeiro vamos descobrir quanto é o ângulo θ . A tangente é a distância vertical sobre a distância horizontal entre G e C :

tg ⁡ θ = Δ y Δ x = 2,25 + 6 sen ⁡ 15 ° - 1 cos ⁡ 15 ° 6 cos ⁡ 15 ° + 1 sen ⁡ 15 ° = 2,837 6,054 = 0,4686

θ = arctg ⁡ ( 0,4686 ) = 25,1 °

A inclinação da linha de baixo C G em relação à de cima L H é 25,1 ° - 15 ° = 10,1 ° . Então o tamanho de D E , E F e F G é igual a:

d cos ⁡ 10,1 ° = 1,5 ⇒ d = 1,5 cos ⁡ 10,1 ° = 1,524   m

Então conseguimos achar as coordenadas de E através das coordenadas de G . Sabemos que as de G são:

G = 6.054 ,   2.25 + 2.837 m = 6.054 ,   5.087 m

Então achamos as de E :

x E = x G - 2 d cos ⁡ θ = 6,054 - 2 × 1,524 cos ⁡ 25,1 ° = 3,294   m

y E = y G - 2 d sen ⁡ 25,1 ° = 5,087 - 2 × 1,524 sen ⁡ 25,1 ° = 3,794   m

Passo 4

Agora que temos todas as distâncias horizontais e verticais dos pontos A , E e G até o ponto B e o valor das trações T , conseguimos achar A y através do momento em relação a B .

∑ M B = 0 ⇒ - A y 3 + T sen ⁡ 60 ° x E + T cos ⁡ 60 ° y E + T sen ⁡ 60 ° x G - T cos ⁡ 60 ° ( y G )

Substituindo os valores:

- 3 A y + 5663,8 sen ⁡ 60 ° 6,054 + 3,294 + 5663,8 cos ⁡ 60 ° 3,794 - 5,087 = 0

- 3 A y + 45851 - 3662 ⇒ A y = 3662 - 45851 3 = - 14063   N

O valor negativo indica que é para baixo a força vertical em A . Então, voltando à equação que encontramos no passo 2:

A y + B y = 9810 ⇒ B y = 9810 - A y = 9810 - - 14063

⇒ B y = 23873   N

Passo 5

Pronto, agora que já fizemos isso tudo para achar as forças A y e B y , podemos voltar pra nossa seção da treliça e calcular C K :

O ângulo α é calculado também através de sua tangente, que é a distância horizontal sobre a distância vertical entre K e C . As coordenadas de K são:

x K = 1,5 cos ⁡ 15 ° = 1,449   m

y K = y C + 2,25 + 1,5 sen ⁡ 15 ° = 2,25 + 1,5 sen ⁡ 15 ° = 4,888   m

Então achamos α :

tg ⁡ α = x K - x C y K - y C = 1,449 - 0 4,888 - 2,25 = 0,549

α = arctg ⁡ ( 0,549 ) = 28,8 °

Como temos duas forças desconhecidas passando em C , primeiro vamos fazer o momento em relação a esse ponto:

∑ M C = 0 ⇒ - L K cos ⁡ 15 ° 2,25 + A y 3 = 0

⇒ - 2,173   L K + 3 A y = 0 ⇒ L K = 3 A y 2,173 = 3 × 14063 2,173

L K = 19415   N

Agora achamos C K fazendo as somas das forças horizontais e verticais:

∑ F x = 0 ⇒ L K cos ⁡ 15 ° + C K sen ⁡ α + C D cos ⁡ θ + A x + B x = 0

Como A x + B x = 0 :

19415 cos ⁡ 15 ° + C K sen ⁡ 28,8 ° + C D cos ⁡ 25,1 ° = 0

⇒ 18753 + 0,4818   C K + 0,9056   C D = 0

Isolamos C D para substituir na próxima equação:

0,9056   C D = - 18753 - 0,4818   C K

⇒ C D = - 20709 - 0,532   C K

∑ F y = 0 ⇒ - A y + B y + L K sen ⁡ 15 ° + C K cos ⁡ α + C D sen ⁡ θ = 0

⇒ - 14063 + 23873 + 19415 sen ⁡ 15 ° + C K cos ⁡ 28,8 ° + C D sen ⁡ 25,1 ° = 0

⇒ 14835 + 0,8763   C K + 0,4242   C D = 0

Substituímos agora o valor de C D encontrado na equação anterior:

14835 + 0,8763   C K + 0,4242 ( - 20709 - 0,532   C K ) = 0

⇒ 14835 + 0,8763   C K - 8785 - 0,2257   C K = 0

⇒ 6050 + 0,6506   C K = 0 ⇒ 0,6506   C K = - 6050

⇒ C K = - 6050 0,6506 = - 9290   N

O valor negativo indica que a força é de compressão do elemento e não de tração como foi desenhado.

Resposta

C K = 9290   N   ( C )

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