Enunciado

Determine a força nos membros A B , A E , B C , B F , B D e B E da treliça de espaço e indique se os membros estão sob tração ou compressão.

Passo 1

Para determinar as forças, deve-se fazer o diagrama de corpo livre usando o método das juntas de cada junta no qual sejam indicadas todas as forças atuando no respectivo membro.

Para esse caso não é necessário realizar a análise de todos os membros presentes, visto que é pedido para determinar o valor de apenas algumas forças. Isso possibilita fazer praticamente apenas a análise das juntas A e B (por possuírem forças já definidas agindo sobre elas) e pelas forças estarem agindo sobre elas.

Passo 2

Escolhendo a junta A primeiro e fazendo o seu DCL, tem-se que:

Com isso, é possível montar as equações do equilíbrio de forças para cada eixo.

Então, para o eixo z será feito:

∑ F z = 0 ⇒ F A E 1 1,5 - 1,5 = 0

F A E = 2,25   k N

Em seguida, para o eixo x :

∑ F x = 0 ⇒ 3 - F A E 1,25 1,5 1 1,25 - F A D 1 1,25 = 0

F A D = 3 - 2,25 1,25 1,5 1 1,25 1,25

F A D = 1 , 677   k N

E para o eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ F A B - F A E 1,25 1,5 0,5 1,25 - F A D 0,5 1,25 = 0

F A B = 2,25 0,5 1,5 + 1,677 0,5 1,25

F A B = 1,5   k N

Como as forças F A B e F A E agem sobre seus respectivos membros, então possuem caráter trativo.

Passo 3

Agora, fazendo o mesmo processo para a junta B :

Como na junta B ainda restam quatro forças a serem determinadas e é possível escrever apenas três equações (uma para cada eixo), o sistema se torna impossível. Logo, para resolver este problema, uma das forças deve ser previamente determinada a partir de outro nó.

Então, pode-se fazer a análise na junta C a partir do seu DCL. Antes disso, um fato deve ser apontado: as forças F C D e F C F e a reação C y são coplanares, enquanto que a força F B C não está contida neste mesmo plano.

Portanto, a partir destas informações tem-se que:

∑ F x = 0 ⇒ F B C 0,5 1 , 25 = 0

∴ F B C = 0

Passo 4

Enfim, com uma das forças agindo em B sendo nula, reduz-se o número de variáveis (forças indeterminadas) para três e agora é possível montar um sistema de equações possível.

Então, voltando ao DCL da junta B , fazendo o equilíbrio de força no eixo x :

∑ F x = 0 ⇒ - F B D 1 3,25 - F B E 3,25 4,25 1 3,25 - F B F 1,25 1,5 1 1,25 = 0

- F B D 1 3,25 - F B E 1 4,25 - F B F 1 1,5 = 0   1

Para o eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ F B F 1,25 1,5 0,5 1,25 - F B D 1 , 5 3,25 - F B E 3,25 4,25 1 , 5 3,25 - F A B = 0

F B F 0,5 1,5 - F B D 1 , 5 3,25 - F B E 1 , 5 4,25 - 1,5 = 0   2

Por fim, para o eixo z :

∑ F z = 0 ⇒ F B E 1 4,25 + F B F 1 1,5 - 2 = 0   3

Passo 5

Por fim, com as equações 1 , 2 e 3 é possível determinar o valor das últimas forças restantes que serão a solução deste sistema de equações.

Logo, tem-se:

F B F =   1,125   k N

F B E = 2,577   k N

F B D = - 3,606   k N

Como a força F B D é negativa, isso significa que ela age no sentido oposto, ou seja, tem atuação sobre a junta B e, portanto, possui caráter compressivo.

Enquanto isso, as forças F B E e F B F agem sobre os seus respectivos membros e, logo, possuem caráter trativo.

Resposta

F A B = 1,5   k N   T

F A E = 2,25   k N   T

F B C = 0

F B F =   1,125   k N   T

F B D = 3,606   k N   C

F B E = 2,577   k N   T

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