Enunciado

Determine a força normal interna, o esforço cortante e o momento nos pontos C e D da viga simplesmente apoiada. O ponto D está localizado à esquerda da carga concentrada de 10   k N .

Passo 1

Para determinar o que se pede, deve-se fazer o diagrama de corpo livre da viga para que seja possível determinar alguma reação externa ao apoio da viga. Após isso, deve-se seccionar o corpo nos pontos de referência e fazer a análise dessas seções, ou seja, fazer a análise das reações internas de cada membro seccionado.

Passo 2

O DCL da viga é dada por:

A carga distribuída exerce uma força resultante sobre a viga em uma determinada posição que devem ser determinados. Como o carregamento é triangular, tem-se que a resultante é dada por:

F R = 1 2 w x = 1 2 6 3 = 9   k N

E a sua posição de atuação será a mesma que a posição do seu centroide para este caso e é dada por:

x ¯ = b 3 = 3 3 = 1 m

Passo 3

Agora, tendo apenas as reações indeterminadas é possível determinar a reação em B aplicando o somatório de momentos em relação ao ponto A e supondo que o momento é positivo no sentido anti-horário, tal que:

M A = 0 ⇒ B y 6 - 9 1 - 10 4,5 = 0

B y = 9 + 4 5 6 ∴ B y = 9   k N

Analogamente, aplicando o somatório de momentos em relação ao ponto B tendo o sentido anti-horário como positivo:

M B = 0 ⇒ 9 6 - 1 + 10 1 , 5 - A y 6 = 0

A y = 45 + 15 6 ∴ A y = 10   k N

Também pode-se fazer o somatório de forças no eixo x :

∑ F x = 0 ⇒ A x = 0

Passo 4

Então, pode-se fazer um “corte” no ponto C que terá uma de suas seções analisadas.

Logo, fazendo o DCL da seção à esquerda de C e mostrando as forças e reações aplicadas, tem-se que:

Como o comprimento da seção diminuiu e a forma da carga mudou para trapezoidal, o valor da força resultante gerada pela carga distribuída será alterado para a soma entre a resultante da carga triangular e da retangular.

No entanto, como temos o valor da carga apenas na extremidade esquerda, deve-se perceber que a carga é linear e, portanto, o seu valor varia linearmente. Portanto:

Então:

w ' 1,5 = 6 3 ∴ w ' = 3   k N ∙ m

Antes de continuar, devemos lembrar que a força resultante gerada por uma carga retangular é dada por:

F R r e t = w x

E a posição do seu centroide é:

x ¯ r e t = b 2

Com isso, a força resultante gerada pela carga seccionada triangular será:

F R t ' = 1 2 6 - 3 1,5 = 2,25   k N

E o seu ponto de ação será:

x ¯ ' t = 1,5 3 = 0,5 m

Enquanto que a resultante gerada pela carga seccionada retangular será de:

F R r e t ' = 3 1,5 = 4,5   k N

E a posição do seu centroide é de:

x ¯ ' r e t = 1,5 2 = 0 , 7 5 m

Passo 5

Então, voltando ao DCL da seção em C e aplicando as equações de equilíbrio obtém-se para o eixo x :

→ ∑ F x = 0 ⇒ N C = 0

Para o eixo y :

↑ ∑ F y = 0 ⇒ A y - F R t ' - F r e t ' - V C = 0

V C = 10 - 2,25 - 4,5

V C = 3,25   k N

E, aplicando o princípio dos momentos em relação ao ponto C e considerando o sentido anti-horário como sendo positivo:

∑ M C = 0 ⇒ M C + F R t ' 1,5 - x ¯ ' t + F r e t ' x ¯ ' r e t - A y 1,5 = 0

M C = 10 1,5 - 2,25 1,5 - 0,5 - 4,5 0,75

M C = 9,375   k N ∙ m

Passo 6

Por fim, fazendo o mesmo processo para o ponto D , secciona-se a viga neste ponto e obtém-se o DCL desse membro:

Feito isso, pode-se aplicar as equações de equilíbrio, tal que obtém-se para o eixo x :

→ ∑ F x = 0 ⇒ N D = 0

Para o eixo y :

↑ ∑ F y = 0 ⇒ V D + B y - 10 = 0

V D = 10 - 9

V D = 1   k N

E, aplicando o princípio dos momentos em relação ao ponto D e considerando o sentido anti-horário como sendo positivo:

∑ M D = 0 ⇒ B y 1,5 - M D = 0

M D = 9 1,5

M D = 13,5   k N ∙ m

Resposta

N C = 0

V C = 3,25   k N

M C = 9,375   k N ∙ m

N D = 0

V D = 1   k N

M D = 13,5   k N ∙ m

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