Enunciado

Remova as forças de 6   k N e determine a maior força P que pode ser aplicada à treliça de modo que nenhum dos membros esteja sujeito a uma força que exceda 10   k N em tração ou 7,5   k N em compressão.

Passo 1

O problema que que a gente encontre a maior força que pode ser aplicada em P , de forma que não ultrapasse 10   k N em tração ou 7,5   k N em compressão. Nesse caso, vamos analisar junta por junta (Método dos nós).

Vamos partir do momento, levando em conta o ponto A como eixo de rotação, vamos usar o momento para calcular a força exercida na junta B :

N B ⋅ E C - - P ⋅ E D - = 0

N B ⋅ 4 - P ⋅ 2 = 0

N B = 0,5 ⋅ P

Observando as treliças e a estrutura completa notamos que a melhor ordem para analisar cada junta é:

B → C → G

Também percebemos que boa parte dos ângulos formados na estrutura são de 45 ° .

Então, vamos começar pelas forças da junta B . Sabendo que o somatório das forças no eixo y e somatório das forças do eixo x é 0 , pois a estrutura encontra-se em equilíbrio.

No eixo x primeiro:

∑ F x = 0

F B G ⋅ s e n 30 ° - F B C ⋅ s e n ( 0 ° ) = 0

F B G - 0 = 0

Assim encontramos:

F B G = 0

Agora no eixo y :

∑ F y = 0

N B - F B C = 0

0,5 ⋅ P - F B C = 0

Então encontramos:

F B C = 0,5 ⋅ P

Sob compressão.

Agora, vamos analisar as forças da junta C , sabendo que o somatório das forças no eixo y e somatório das forças do eixo x é 0 , pois a estrutura encontra-se em equilíbrio.

No eixo y primeiro:

∑ F y = 0

F B C - F C G ⋅ s e n ( 45 ° ) = 0

0,5 ⋅ P - F C G ⋅ s e n ( 45 ° ) = 0

Assim encontramos:

F C G = 0,71 ⋅ P

Estando sob tração.

Agora no eixo x :

∑ F x = 0

F C D - F C G ⋅ c o s ⁡ ( 45 ° ) = 0

F C D - 0,71 ⋅ P ⋅ c o s ⁡ ( 45 ° ) = 0

Então encontramos:

F C D = 0,5 ⋅ P

Nesse caso então, estando sob compressão.

Faça o mesmo na junta G , e você obterá:

F G D = 0,71 ⋅ P (Compressão)

F G F = P (Tração)

Passo 2

Fazendo isso em todas as juntas subsequentes, vamos obter:

F B G = 0

F B C = 0,5 ⋅ P (Compressão)

F C G = 0,71 ⋅ P (Tração)

F C D = 0,5 ⋅ P (Compressão)

F G D = 0,71 ⋅ P (Compressão)

F G F = P (Tração)

Passo 3

Agora vamos organizar, vamos ver qual o P máximo que cada membro permite:

Sabendo que não pode ser maior que 10   k N em tração ou 7,5   k N em compressão em qualquer membro.

F B G → P ≤ ∞   k N

F B C → P ≤ 15   k N

F C G → P ≤ 14,08   k N

F C D → P ≤ 15   k N

F G D → P ≤ 10,56   k N

F G F → P ≤ 10   k N

Como a gente quer saber o máximo que ele pode assumir sem causar colapso a gente pega o menor, que no caso é:

P = 1 0   k N

Resposta

P = 1 0   k N

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