Enunciado

Determine por integração direta o centroide da área mostada na figura. Demonstre sua resposta em termos de a e b .

Passo 1

Beleza! Antes de começar, devido a simetria da área, temos que y - = 0 . Nesse exercício, devemos notar que a altura inferior para algum elemento diferencial na curva será dado pela equação da parte inferior, e analisando o ponto x = a ; y = b , temos:

b = k a 2 → k = b a 2

Então, a equação para a parte inferior se torna:

y 1 = b a 2 x 2

Dessa forma, para a altura superior, fazendo x = a ; y = b , então, substituindo esses valores na equação da curva superior, temos:

b = 2 b - c a 2 → c = b a 2

Então, substituindo o valor de c encontrado para a curva superior, temos:

y 2 = 2 b - b a 2 x 2 → y 2 = b 2 - x 2 a 2

Dessa forma, o elemento diferencial de altura ( y 2 - y 1 ) e espessura d x será:

d A = y 2 - y 1 d x = b 2 - x 2 a 2 - b a 2 x 2 d x

E, reescrevendo a expressão, temos:

d A = 2 b 1 - x 2 a 2 d x

E, nesse caso, a coordenada x - E L será:

x - E L = x

Passo 2

Agora, pegando a expressão para o elemento diferencial de área e integrando dos dois lados, temos:

∫ d A = ∫ 2 b 1 - x 2 a 2 d x

A = 2 b ∫ 0 a 1 - x 2 a 2 d x

Resolvendo a integral do lado direito, temos:

A = 2 b x - 1 3 a 2 x 3 0 a

Substituindo os limites de integração, temos:

A = 2 b a - 1 3 a 2 a 3 - 0

Simplificando a expressão, obtemos o valor para a área:

A = 4 3 a b

Nós sabemos que podemos relacionar o centro de massa de uma figura com a sua área através das seguintes fórmulas:

x - A = ∫ x - E L d A

Passo 3

Então, para encontrar o valor do centro de massa, precisamos agora encontrar a parcela da direta das equações anteriores, então, para x , substituindo os valores de x - E L e d A encontrados no passo 1:

∫ x - E L d A = ∫ 0 a x 2 b 1 - x 2 a 2 d x

Reescrevendo a integral, temos:

∫ x - E L d A = 2 b ∫ 0 a x - x 3 a 2 d x

Resolvendo a integral, temos:

∫ x - E L d A = 2 b 1 2 x 2 - 1 4 a 2 x 4 0 a

Substituindo os limites de integração:

∫ x - E L d A = 2 b 1 2 a 2 - 1 4 a 2 a 4 - 0

Simplificando a expressão, temos:

∫ x - E L d A = 1 2 a 2 b

E, susbtituindo os valores conhecidos na última equação do passo 2, temos:

x - A = ∫ x - E L d A → x - 4 3 a b = 1 2 a 2 b

Isolando x - e resolvendo:

x - = 3 8 a

Resposta

x - = 3 8 a

y - = 0

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