Enunciado

Determine por integração direta o centroide da área mostada na figura. Demonstre sua resposta em termos de a e h .

Passo 1

Beleza! Nesse exercício, devemos notar que a altura inferior para algum elemento diferencial na curva será dado por:

y 1 = h - h a x → y 1 = h 1 - x a

Dessa forma, para a altura superior, fazendo x = 0 → y = h , então, substituindo esses valores na equação da curva superior, temos:

h = k 1 - 0 → k = h

E, no ponto x = a → y = 0 , temos:

0 = h 1 - c a 2 → c = 1 a 2

Então, substituindo os valores de c e k encontrados para a curva superior, temos:

y 2 = h 1 - x 2 a 2

Dessa forma, o elemento diferencial de altura ( y 2 - y 1 ) e espessura d x será:

d A = y 2 - y 1 d x = h 1 - x 2 a 2 - h 1 - x a d x

E, reescrevendo a expressão, temos:

d A = h x a - x 2 a 2 d x

E, nesse caso, as coordenadas x - E L e y - E L serão:

x - E L = x

y - E L = 1 2 y 1 - y 2 = 1 2 h 1 - x a - h 1 - x 2 a 2

E, simplificando a expressão, temos:

y - E L = h 2 2 - x a - x 2 a 2

Passo 2

Agora, pegando a expressão para o elemento diferencial de área e integrando dos dois lados, temos:

∫ d A = ∫ h x a - x 2 a 2 d x

A = h ∫ 0 a x a - x 2 a 2 d x

Resolvendo a integral do lado direito, temos:

A = h 1 2 a x 2 - 1 3 a x 3 0 a

Substituindo os limites de integração, temos:

A = h 1 2 a a 2 - 1 3 a a 3 - 0

Simplificando a expressão, obtemos o valor para a área:

A = 1 6 a h

Nós sabemos que podemos relacionar o centro de massa de uma figura com a sua área através das seguintes fórmulas:

x - A = ∫ x - E L d A

y - A = ∫ y E L d A

Passo 3

Então, para encontrar o valor do centro de massa, precisamos agora encontrar a parcela da direta das equações anteriores, então, para x , substituindo os valores de x - E L e d A encontrados no passo 1:

∫ x - E L d A = ∫ 0 a x h x a - x 2 a 2 d x

Reescrevendo a integral, temos:

∫ x - E L d A = h ∫ 0 a x 2 a - x 3 a 2 d x

Resolvendo a integral, temos:

∫ x - E L d A = h 1 3 a x 3 - 1 4 a 2 x 4 0 a

Substituindo os limites de integração:

∫ x - E L d A = h 1 3 a a 3 - 1 4 a 2 a 4 - 0

Simplificando a expressão, temos:

∫ x - E L d A = 1 12 a 2 h

E, susbtituindo os valores conhecidos na última equação do passo 2, temos:

x - A = ∫ x - E L d A → x - 1 6 a h = 1 12 a 2 h

Isolando x - e resolvendo:

x - = 1 2 a

Agora, fazendo o mesmo processo para y :

∫ y - E L d A = ∫ 0 a h 2 2 - x a - x 2 a 2 h x a - x 2 a 2 d x

Reescrevendo a integral, temos:

∫ y - E L d A = h 2 2 ∫ 0 a 2 x a - 3 x 2 a 2 + x 4 a 4 d x

Resolvendo a integral, temos:

∫ y - E L d A = h 2 2 x 2 a - x 3 a 2 + 1 5 a 4 x 5 0 a

Substituindo os limites de integração:

∫ y - E L d A = h 2 2 a 2 a - a 3 a 2 + 1 5 a 4 a 5 - 0

Simplificando a expressão, temos:

∫ y - E L d A = 1 10 a h 2

E, susbtituindo os valores conhecidos na última equação do passo 2, temos:

y - A = ∫ y - E L d A → x - 1 6 a h = 1 10 a h 2

Isolando y - e resolvendo:

y - = 3 5 h

Resposta

x - = 1 2 a

y - = 3 5 h

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