Enunciado

Se F 3 = 9   k N , θ = 30 ° e ϕ = 45 ° , determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante que atua sobre a junta esférica

Passo 1

Faaalaa!

O exercício nos dá 3 forças, suas orientações e nos pede para encontrar a resultante, vamos começar decompondo essas forças.

Para F 1 , de início já podemos encontrar a direção k , dado que a força faz 6 0 ° com o plano x y . Como o ângulo é oposto ao eixo z , multiplicamos a força por seno de 60 ° para achar a componente em z .

F 1 z = - F 1 sin ⁡ 60 °

F 1 z = - 10   sin ⁡ 60 °

F 1 z = - 8,7   k N

Ela ficou negativa porque a força aponta para baixo, ou seja, para o sentido negativo de z .

Já a projeção no plano x y vamos achar multiplicando a força por cosseno

F 1 x y = F 1 cos ⁡ 60 °

F 1 x y = 10   cos ⁡ 60 °

F 1 x y = 5,0   k N

Com a projeção da força nesse plano a gente consegue achar as componentes x e y . E então decompomos F 1 x y em x e y , sabendo que a projeção faz 30 ° com o eixo y , vamos achar a componente em y usando cosseno e em x usando seno desse ângulo

Temos em x :

F 1 x = - F 1 x y sin ⁡ 30 °

F 1 x = - 5,0   sin ⁡ 30 °

F 1 x = - 2,5   N

Negativo porque ela aponta para a parte negativa de x .

E temos em y :

F 1 y = F 1 x y cos ⁡ 30 °

F 1 y = 5,0   cos ⁡ 30 °

F 1 y = 4,4   N

Essa é positiva porque a força aponta para o sentido positivo de y .

Assim, o vetor cartesiano de F 1 fica:

F 1 → = - 2,5 i + 4,4 j - 8,7 k   k N

Passo 2

Vamos para a F 2 , ela está contida plano x z , então terá duas componentes, enquanto a componente y zera. Vamos encontra-las usando a relação de catetos e hipotenusas do triângulo dado:

No eixo z :

F 2 z = F 2   s e n   θ  

F 2 z = 8   4 5

F 3 z = 6,4   k N

No eixo x :

F 2 x = - F 3 cos ⁡ θ

F 2 x = - 8   3 5

F 2 x = - 4,8   k N

Essa última é negativa porque nosso vetor aponta para a parte negativa de x .

Logo, nossa F 2 como vetor cartesiano fica:

F 2 → = - 4,8 i + 6,4 k   k N

Passo 3

Para o F 3 , com as informações dadas no enunciado podemos encontrar a direção k , dado que a força faz ϕ = 45 ° com o plano x y . Assim esse ângulo é oposto ao eixo z , por isso usamos seno

F 3 z = - F 1 sin ⁡ 45 °

F 3 z = - 9   sin ⁡ 45 °

F 3 z = - 6,7   k N

Fica negativo porque essa força aponta para baixo.

Já a projeção no plano x y é dada por:

F 3 x y = F 1 cos ⁡ 45 °

F 3 x y = 9   cos ⁡ 45 °

F 3 x y = 6,7   k N

E então decompomos em x e y , sabendo que a projeção faz θ = 30 ° com o eixo y :

Temos em x :

F 3 x = F 3 x y sin ⁡ 30 °

F 3 x = 6,7   sin ⁡ 30 °

F 3 x = 3,4   k N

E temos em y :

F 3 y = - F 3 x y cos ⁡ 30 °

F 3 y = - 6,7   cos ⁡ 30 °

F 3 y = - 5 , 8   k N

Ela aponta para o sentido negativo de y , por isso o sinal de menos.

Caso estivesse apontando no sentido que estamos acostumados o vetor teria i negativo, j positivo e k positivo, já que está com sentido oposto colocamos as componentes opostas, assim, o vetor cartesiano de F 3 fica:

F 3 → = + 3,4 i - 5 , 8 j - 6,7 k   k N

Passo 4

Podemos agora encontrar nossa força resultante. Vamos somar cada componente separadamente:

F R → = F 1 → + F 2 → + F 3 →

F R x i + F R y j + F R z k = F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k + F 2 x i + F 2 y j + F 2 z k + F 3 x i + F 3 y j + F 3 z k

F R x i + F R y j + F R z k = - 2,5 i + 4,4 j - 8,7 k + - 4,8 i + 6,4 k + 3,4 i - 5,8 j - 6,7 k

F R x i + F R y j + F R z k = - 3,9 i - 1 , 4 j - 9 k

Obtemos então:

F R x = - 3,9   k N

F R y = - 1 , 4   k N

F R z = - 9,0   k N

E a intensidade do seu módulo será:

F R   = F R x 2 + F R y 2 + F R z 2

F R   = - 3,9 2 + - 1 , 4 2 + - 9,0 2

F R   =   9,91   k N

Passo 5

Só falta encontrar os ângulos de direção coordenados de F R , usando a fórmulinha deles:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ - 3,9 9,91 ∴ α = 11 3 °

β = cos - 1 ⁡ - 1 , 4 9,91 ∴ β = 9 8 °

γ = cos - 1 ⁡ - 9,0 9,91 ∴ γ = 15 5 °

Resposta

F R   =   9,91   k N

α = 11 3 °

β = 9 8 °

γ = 15 5 °

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Determine a intensidade da componente projetada da força F = 400 i - 200 j + 500 kN que atua ao longo do cabo C A .
Determine o ângulo θ entre os dois cabos.
Determine o ângulo θ entre os lados da chapa triangular.
Determine a intensidade da projeção da força F 1 ao longo do cabo A C .
Determine a componente projetada da força de 80N que atua ao longo do eixo A B do tubo.