Enunciado

Determine o ângulo theta entre os dois cabos.

Passo 1

Opa, tudo bem? Prontos pra mais um exercício?

O exercício nos pede para determinar o ângulo theta entre os dois cabos.

A partir da definição do produto escalar, temos que o ângulo formado entre as origens de dois vetores que se interceptam vale:

theta = cos^(- 1) ((A * B)/(A B))

Onde A e B indicam os vetores e A e B suas intensidades.

Aplicando ao nosso problema podemos dizer que:

theta = cos^(- 1) ((r_A B * r_A C)/(r_A B r_A C))

Para não nos perdermos, vamos escrever as coordenadas de cada ponto:

A = (2 , - 3,3) m

B = (0,3 , 0) m

C = (- 2 , 3,4) m

Passo 2

Analisando a figura do enunciado, temos que:

r_A B = B - A

r_A B = (0 - 2) i + (3 - (- 3)) j + (0 - 3) k

r_A B = - 2 i + 6 j - 3 k

Sua magnitude vale:

r_A B = sqrt((- 2)^2 + (6)^2 + (- 3)^2)

r_A B = 7 m

Fazendo o mesmo procedimento para o lado A C , temos que:

r_A C = C - A

r_A C = (- 2 - 2) i + (3 - (- 3)) j + (4 - 3) k

r_A C = - 4 i + 6 j + 1 k

Sua magnitude vale:

r_A C = sqrt((- 4)^2 + (6)^2 + (1)^2)

r_A B = sqrt(53) m

Passo 3

Agora que descobrimos todos os dados que precisamos, é só substituir na equação:

theta = cos^(- 1) ((r_A B * r_A C)/(r_A B r_A C))

theta = cos^(- 1) ((( - 2 i + 6 j - 3 k ) * (- 4 i + 6 j + 1 k))/((7) sqrt(53)))

Resolvendo, temos que:

theta = cos^(- 1) (((- 2) (- 4) + (6) (6) + ( - 3 ) ( 1 ))/((7) sqrt(53)))

theta = cos^(- 1) (0 , 80454)

theta = 36,434 °

Este é o valor do ângulo solicitado. Consegui te ajudar? Responde Aí.

Resposta

theta = 36,434 °

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