Enunciado

Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante.

Passo 1

Sabemos que a força resultante será o somatório das nossas forças, então antes vamos definir cada uma delas. Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

Para A precisaremos trabalhar um pouco com os ângulos:

x A = - 0,9 sin ⁡ 4 0 °

x A = - 0,58   m

y A = 0,9 cos ⁡ 4 0 °

y A = 0,70   m

E ficamos com:

A ( - 0 , 58 ,   0 , 70 ,   0 )   m

B 1,2 - 2,1 ,   0   m

C 0 ,   0 ,   1,2   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r C A = x A - x C i + y A - y C j + ( z A - z C ) k

r 1 = r C A = - 0,58 i + 0 , 7 0 j - 1,2 k   m

E para o outro:

r C B = x B - x C i + y B - y C j + ( z B - z C ) k

r 2 = r C B = 1,2 i - 2,1 j - 1,2 k   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

r 1 = - 0,58 2 + - 0,70 2 + - 1,2 2

r 1 = 1,5   m

r 2 = 1,2 2 + - 2,1 2 + - 1,2 2

r 2 = 2,7   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido de cada vetor:

u = r r

u 1 = ( - 0,58 i + 0,70 j - 1,2 k ) 1,5

u 1 = - 0,39 i + 0,47 j - 0,8 k

u 2 = 1,2 i - 2,1 j - 1,2 k 2,7

u 2 = 0,4 4 i - 0 , 78 j - 0 , 44 k

Passo 3

Com isso, podemos expressar cada força como um vetor cartesiano:

F 1 = F 1   u 1

F 1 = 500   N   - 0,39 i + 0,47 j - 0,8 k

F 1 = - 195 i + 235 j - 400 k   N

F 2 = F 2   u 2

F 2 = 405   N   0,44 i - 0,78 j - 0,44 k

F 2 = 178 i - 316 j - 178 k   N

Passo 4

Nossa força resultante será então:

F R = F 1 + F 2

F R = - 195 i + 235 j - 400 k + ( 178 i - 316 j - 178 k )

F R = - 17 i - 81 j - 578 k   N

Agora podemos encontramos a intensidade da força resultante:

F R = - 17 2 + - 81 2 + - 578 2

F R = 583   N

Passo 5

Finalmente encontramos os ângulos de direção coordenados da força pela relação:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ - 17 583 ∴ α = 92 °

β = cos - 1 ⁡ - 81 583 ∴ β = 98 °

γ = cos - 1 ⁡ - 578 583 ∴ γ = 172 °

Resposta

F R = 583   N

α = 92 °

β = 98 °

γ = 172 °

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