Enunciado

( a ) Determine a localização e o valor da deflexão máxima absoluta em A B entre A e o centro da viga. ( b ) Considerando que a viga A B seja um perfil W 460 × 113 , M 0 = 224   k N ∙ m e E = 200   G P a , determine o comprimento L máximo admissível de modo que a deflexão máxima não ultrapasse 1,2   m m .

Passo 1

Fala aí, galera. Beleza? Bora fazer mais um exercício pra ficar craque.

Primeiro, vamos calcular a reação de apoio em A , temos:

∑ M B = 0 - 2 M 0 - F A L = 0 F A = - 2 M 0 L

Em seguida, para um segmento da nossa viga dado por A K , onde K seja um ponto no intervalo 0 ≤ x < L , vamos aplica a equação de momento:

∑ M K = 0 - M 0 + 2 M 0 L x + M = 0 M = M 0 L ( L - 2 x )

Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = M 0 L ( L - 2 x )

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = M 0 L ( L - x 2 ) + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = M 0 L L - x 3 3 + C 1 x + C 2

Passo 2

O próximo passo é determinarmos as constantes. Para isso, vamos utilizar as condições de contorno. São elas:

x = 0 → d y d x = 0 x = L → y = 0

Com isso, vamos substituir estas condições nas respectivas equações para determinarmos as constantes. Para a primeira:

C 1 = - 1 6 M 0 L 2

E para a segunda condição, temos:

C 2 = 0

Com as constantes definidas, basta as substituirmos na equação y que encontramos anteriormente. Fica assim:

E I y = M 0 L L - x 3 3 + C 1 x + C 2 y = M 0 L L - x 3 3 - 1 6 L 2 x

Esta é a equação da linha elástica.

Passo 3

Para acharmos o local da deflexão máxima, temos:

d y d x = 0 x m 2 - L x m - 1 6 L 2 = 0

Isolando x m :

x m = L - L 2 - 4 1 6 L 2 2 x m = 0,211 L

Passo 4

Para determinarmos o comprimento máximo da viga vamos utilizar a equação para a linha elástica, dada por:

y = M 0 L L - x 3 3 - 1 6 L 2 x

E substituindo no ponto x m á x e utilizando os valores que o enunciado nos forneceu:

L = 6,08   m

Logo:

x m = 1,28   m

É isso, galera! Vamos fazer mais questões.

Resposta

L = 6,08   m

x m = 1,28   m

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Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no apoio móvel (b) a deflexão no ponto B.
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Para a viga mostrada e sabendo que P = 40 kN, determine (a) a reação no ponto E, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.