Determine y ¯ , que localize o eixo centroidal x ’ da área da seção transversal da viga T , e depois determine os momentos de inércia I x ' e I y ' .

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Este problema nos pede para determinarmos o centroide e o momento de inercia em relação aos eixos x ' e y ' para esta viga.

A seção é composta por duas partes retangulares:

A 1 = 150   m m × 20   m m

A 2 = 20   m m × 150   m m

O centroide (ou centro geométrico) é o ponto onde se pode considerar que toda a área da seção está concentrada para fins de análise. Para uma seção composta por várias formas simples (retângulos, triângulos, etc.), o centroide é obtido utilizando a média ponderada das posições dos centroides de cada parte em relação à área:

y - = ∑ A i y i ∑ A i

Onde:

A i = área da i-ésima parte da seção

y i = distância do centroide da i-ésima área até um eixo de referência

Para uma área composta, o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centroide da seção é obtido pelo Teorema dos Eixos Paralelos (ou Teorema de Steiner):

I x ' = ∑ ( I x i + A i d i 2 )  

Onde:

I x i = momento de inércia da i-ésima área em relação ao seu próprio centroide

d i = distancia entre o centroide da i-ésima área e o centroide da seção composta

A i = área da i-ésima parte

Com essa pequena revisão, vamos dar inicio a nossa resolução.

Passo 2

Temos que a área de cada parte é:

A 1 = 3000   m m 2

A 2 = 3000   m m 2

A posição do centro de cada área em relação à base inferior:

y 1 = 150 + 20 2 = 160   m m

y 2 = 150 2 = 75   m m

Então o centroide da seção composta é:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 A 1 + A 2

y - = 3000 ⋅ 160 + 3000 ⋅ 75 6000

y - = 48000 + 225000 6000

y - = 705000 6000

y - = 117.5   m m

Passo 3

Vamos usar o Teorema de Steiner:

I x ' = I x 1 + A 1 d 1 2 + I x 2 + A 2 d 2 2

I y ' = I y 1 + I y 2

Agora vamos encontrar I x ' :

I x 1 = 1 12 b h 3

= 1 12 150 20 3

= 1 12 150 8000

= 1000000   m m 4

d 1 = 160 - 117.5 = 42.5

E:

A 1 d 1 2 = 3000 42.5 2 = 3000 ⋅ 1806.25 = 5418750

Agora os cálculos para 2 :

I x 2 = 1 12 b h 3

= 1 12 20 150 3

= 1 12 20 3375000

= 5625000

d 2 = 117.5 - 75 = 42.5

E:

A 2 d 2 2 = 3000 ⋅ 1806.25 = 5418750

A soma total:

I x ' = 1000000 + 5418750 + 5625000 + 5418750 = 17462500   m m 4

Passo 4

Agora I y '

Para 1

I y 1 = 1 12 h b 3 = 1 12 20 150 3 = 1 12 20 3375000 = 5625000

Para 2

I y 2 = 1 12 h b 3 = 1 12 150 20 3 = 1 12 150 8000 = 1000000

I y ' = 5625000 + 1000000 = 6625000   m m 4

Resposta

y ¯ = 117,5   m m

I x ' = 1 74625000   m m 4

  I y ' = 6625000   m m 4

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