Enunciado

Determine a maior carga P que pode ser aplicado na treliça de modo que nenhum dos membros esteja sujeito a uma força excedendo 2 k N em tração ou 1,5 k N em compressão.

Passo 1

E aí meus cheiros, prontos pra mais uma questão bacaninha?

Pois bem, queremos determinar o maior valor de P que pode ser aplicado na nossa treliça de tal forma que nenhum dos nossos membros esteja sujeito a uma força de 2 k N em tração ou 1,5   k N em compressão. Sendo assim, bora primeiro esquematizar um diagrama de corpo livre pra facilitar nossa vida aqui com esse problema, podemos representá-lo como

∑ F x = 0 → H a = 0

Porque não temos outra força nessa direção.

Uma coisa que é importante a gente prestar atenção nesse problema é a simetria da nossa treliça. Então o que a gente achar para A C , vale para C B .

Isso quer dizer também que por causa da simetria V A = V B = V :

∑ F y = 0 → V A + V A - P = 0

2 V = P → V = P / 2

Sendo assim, vamos fazer a análise nos nós pra ir logo encontrando o que desejamos sem ter muito trabalho.

Passo 2

Começando pelo nó C .

Pela simetria do problema vamos ter F b c = F a c = F . Para projetar essas forças em y , multiplicamos elas por cosseno de 30 ° , porque esse ângulo está colado em y . Então teremos

∑ F y = 0 → F a c + F b c - P = 0

2 F a c = P → 2 F cos ⁡ 30 °

F = P 2 ⋅ cos ⁡ 30 °   C o m p r e s s ã o

Vemos que é compressão pela figura, a setinha está entrando na peça, ok?

Pois bem, como o valor máximo para a compressão é 1,5   k N podemos fazer

F = 1,5 k N = P 2 ⋅ cos ⁡ 30 °

F = 1,5 k N = 0,5774 ⋅ P

1,5 k N = 0,5774 ⋅ P

P ≈ 2,598 k N ≈ 2,60   k N

Passo 3

Precisamos, agora, encontrar uma expressão pra tração de tal forma que consigamos comparar os valores de P para pegar o maior como a questão solicita. E agora José? Calma, calma, vamos fazer a mesma avaliação anterior só que agora para o Nó B de tal forma que encontraremos

∑ F x = 0 → F b c - F a b = 0

∑ F x = 0 → F ⋅ cos ⁡ 60 ° - F a b = 0

Vimos quando vale F no passo anterior:

∑ F x = 0 → 0,5774 ⋅ P ⋅ cos ⁡ 60 ° - F a b = 0

F a b = 0,5774 ⋅ P 2 = 0,2887 ⋅ P     t r a ç ã o

Achamos uma expressão para tração, mas ela vai ser a única? Sim, devido a simetria do nosso problema (eu disse que ela era um fator importante). Para a tração temos que o valor máximo é 2 k N então teremos

2 k N = 0,2887 ⋅ P → P ≈ 6,928 k N

Pronto, agora basta decidir qual dos dois valores de P é o menor. Por que? Porque aí a gente garante que ambos os critérios serão atendidos. Ou seja, P não vai ser maior que o permitido para tração e para compressão. Logo:

P = 2,60   k N

Resposta

P = 2,60   k N

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