Enunciado

Determine a massa e a localização do centro de massa ( x - , y - ) da barra em formato parabólico uniforme. A massa por unidade de comprimento da barra é 2 k g / m .

Passo 1

Seja um diferencial de comprimento que vamos destacar nessa barra em formato parabólico aqui.

Podemos escrever d L da seguinte maneira:

d L = d x 2 + d y 2 = 1 + d x d y 2 d y 2

d L = 1 + d x d y 2 d y

Mas quem é d x / d y ? Podemos escontrar esse valor a partir da equação que define o formato do arco! Sabemos que y 2 = 4 x . Vamos isolar a variável x e derivar em relação a y .

x = y 2 4

d x d y = 2 y 4 = y 2

Tenso esse resultado em mãos, vamos substituí-lo na equação de d L :

d L = 1 + y 2 2 d y

d L = 1 + y 2 4 d y = 4 + y 2 4 d y  

d L = 1 2 4 + y 2 d y

Passo 2

O elemento de massa d m pode ser expresso da seguinte maneira:

d m = ρ d L = 2 1 2 4 + y 2 d y

d m = 4 + y 2 d y

Como já encontramos o diferencial de massa do objeto, podemos calcular a integral dele e achar o valor da massa m ! Assim,

m = ∫ d m = ∫ 0 4 4 + y 2 d y

m = 11,832   k g

Passo 3

O centroide do elemento representar o centro geométrico de um corpo, que coindice com o centro de massa ou centreo de gravidade se o maetrial que compõe for o corpo uniforme ou homogêneo. Assim, o centroide desse corpo está localizado em x - = x = y 2 / 4 e y - = y .

x - = ∫ x - d m ∫ d m = ∫ 0 4 y 2 4 4 + y 2 d y ∫ 0 4 4 + y 2 d y

x - = 19,403 11,832 = 1,64   m

Vamos encontrar agora o valor para y - .

y - = ∫ y - d m ∫ d m = ∫ 0 4 y 4 + y 2 d y ∫ 0 4 4 + y 2 d y

y - = 27,148 11,832 = 2,29   m

Resposta

O valor da massa m é:

m = 11,832   k g

O centroide ( x - , y - ) é igual a:

x - = 1,64   m

y - = 2,29   m

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