Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler - Capítulo 9.Problemas - Ex. 3

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desse livro

Determine a distância x - até o centro de massa da barra homogênea encurvada na forma mostrada. Se a barra tem uma massa por unidade de comprimento de 0,5   k g / m determine as reações no apoio fixo O .

Passo 1

Seja um diferencial de comprimento que vamos destacar nessa barra em formato parabólico aqui.

Podemos escrever d L da seguinte maneira:

d L = d x 2 + d y 2 = 1 + d y d x 2 d x 2

d L = 1 + d y d x 2 d x

Mas quem é d y / d x ? Podemos escontrar esse valor a partir da equação que define o formato do arco! Sabemos que y 2 = x ³ . Vamos isolar a variável y e derivar em relação a x .

y = x 3 2

d y d x = 3 2 x 1 2

Tendo esse resultado em mãos, vamos substituí-lo na equação de d L :

d L = 1 + 3 x 1 2 2 2 d x

d L = 1 + 9 x 4 d x

Passo 2

O comprimento da barra L pode ser obtido a partir da integração de d L ! Vamos escrever a expressão para calcular L .

L = ∫ d L = ∫ 0 1 1 + 9 4 x d x

L = 8 27 1 + 9 4 x 3 2 0 1

L = 1,4397   m

Passo 3

O centroide do elemento representar o centro geométrico de um corpo, que coindice com o centro de massa ou centreo de gravidade se o material que compõe o corpo for uniforme ou homogêneo. Assim, o centroide desse corpo está localizado em x - = x   e y - = y .

x - = ∫ x - d L ∫ d L = ∫ 0 1 x 1 + 9 4 x d x 1,4397

Vamos resolver a integral do numerador!

∫ 0 1 x 1 + 9 4 x d x = 8 27 1 + 9 4 x 3 2 - 64 1215 1 + 9 4 x 3 2 0 1

∫ 0 1 x 1 + 9 4 x d x = 0,7857

Voltando a expressão do x - com esse resultado, temos:

x - = 0,7857 1,4397 = 0,546   m

Passo 4

Quermeos saber as reações de apoio no ponto O , certo? Antes de partir para as contas, vamos dar uam olhada no diagrama de corpo livre dessa situação:

Para um sistema em equilíbrio, o somatório de forças nos eixos de referência é igual a zero. A mesma coisa vale para o somatório dos momentos em relação a um ponto. Adotando como sentido positivo para cima e para direita e o sentido anti-horário para o momento, temos:

∑ F x = 0

O x = 0

∑ F y = 0

O y - 0,5 ( 9,81 ) ( 1,4397 ) = 0

O y = 7,06   N

∑ M O = 0

M O - 0,5 ( 9,81 ) ( 1,4397 ) ( 0,5457 ) = 0

M O = 3,85   N m

Resposta

A reações no apoio fixo O são:

O x = 0

O y = 7,06   N

M O = 3,85   N m

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