Enunciado

Determine a massa m máxima do cilindro para a qual o vagão de carvão carregado com 2000   k g não irá tombar com relação às rodas traseiras B . Despreze a massa de todas as polias e rodas. (Note que a tração no cabo em C não é 2 m g .)

Passo 1

Vamos supor que, quando a roda A do carrinho está prestes a perder o contato com o plano, a aceleração do sistema é a no sentido que sobe o plano. (Você pode chutar um sentido para a sem problemas, o sinal do resultado vai te corrigir se você errar!)

Nesse caso, como o cilindro está ligado ao carrinho por uma polia móvel, a aceleração dele será 2 a , a tração que o cabo exerce sobre o cilindro será T / 2 , se T for a tração que o cabo exerce sobre o carrinho. Dê uma olhada no desenho:

Então beleza, vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção vertical para esse cilindro:

∑ F y = m c l d a

m c l d g - T 2 = 2 m c l d a

m c l d = T 2 ( g - 2 a )

Então para encontrarmos a massa m nesse caso limite, precisamos calcular T e a .

Passo 2

Estamos em busca de duas variáveis, então temos que montar duas equações.

Vamos começar com uma equação de momentos. Ainda pensando no caso limite, em que a roda está prestes a perder contato com o chão em A . Vimos que o carrinho tem aceleração a , então:

∑ M = m a d

Onde d é a distância perpendicular entre o centro de massa e o ponto de referência que escolhermos:

N A é nula no nosso caso limite, e N B e T são desconhecidas. Como queremos calcular T , vamos colocar nosso ponto de referência em B , e então:

∑ M B = m a d = m a ( 0,900 )

Onde estamos tomando o sentido horário como positivo, já que a nossa aceleração a aponta no sentido que sobe o plano (e age no centro de massa).

E os momentos dessas forças em relação ao ponto B são:

∑ M B = P x d 1 + P y d 2 + T d 3

∑ M B = - m g sen ⁡ θ 0,900 + m g cos ⁡ θ 0,600 + ( T ) ( 0,300 )

Agora é só igualar:

- m g sen ⁡ θ 0,900 + m g cos ⁡ θ 0,600 + T 0,300 = m a ( 0,900 )

T = 9 m a + m g ( 9 sen ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ ) 3

Essa é nossa primeira equação.

Passo 3

Agora vamos encontrar a segunda equação usando a segunda lei de Newton.

∑ F x = m a

E estamos aplicando essa equação na direção paralela à superfície do plano, que é a direção da aceleração a , da componente P x do peso, e da tração T :

T - P x = m a

T - m g sen ⁡ θ = m a

E vamos substituir a equação que encontramos para T no passo anterior:

9 m a + m g ( 9 sen ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ ) 3 - m g sen ⁡ θ = m a

6 m a + 6 m g sen ⁡ θ - 6 m g cos ⁡ θ = 0

a = g cos ⁡ θ - sen ⁡ θ

E como θ = 30 ° :

a = ( 9,81 ) ( cos ⁡ 30 ° - sen ⁡ 30 ° )

a = 3,59   m / s 2

E substituindo isso em uma das equações, podemos calcular a tração:

T = m a + m g sen ⁡ θ

T = 2000 3,59 + 9,81 sen ⁡ 30 °

T = 16   990   N

Passo 4

Agora é só substituir na nossa fórmula do passo 1 para encontrar a massa m c l d do cilindro:

m c l d = 16990 2 ( 9,81 - 2 ( 3,59 ) )

m c l d = 3,23   .   10 3   k g

m c l d = 3,23   t

Resposta

A massa do cilindro é de 3,23 toneladas.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o módulo P e a direção θ da força necessária para transmitir uma aceleração a = 1,5m / s 2 para trás ao carrinho de mão carregado, sem rotação a partir da posição mostrada. A massa combinada
O coeficiente de atrito estático em ambas as extremidades da barra uniforme é igual a 0,40 . Determine a aceleração horizontal máxima a que o caminhão pode ter sem levar a barra a deslizar. (Sugestão:
Os testes de projeto da sequência de aterrissagem para o módulo lunar são realizados utilizando o modelo de pêndulo suspenso pelos fios paralelos A e B . Se o modelo possui uma massa de 10k g , com ce
As duas barras idênticas uniformes são livremente articuladas nas extremidades inferiores e estão apoiadas nas extremidades superiores por pequenos roletes de massa desprezível que rolam sobre um tril
O carrinho B se desloca para a direita com aceleração a = 2 g . Se o deslocamento angular constante da haste essbelta uniforme de massa 3 m foi verificado ser de 20 ° , determine o valor da constante