Enunciado

O carrinho B se desloca para a direita com aceleração a = 2 g . Se o deslocamento angular constante da haste essbelta uniforme de massa 3 m foi verificado ser de 20 ° , determine o valor da constante contorcional K da mola. A mola, que exerce um momento de módulo M = K θ sobre a haste, está se deformação quando a haste está vertical. Os valores de m e l são 0,5   k g e 0,6   m , respectivamente. Considere a pequena esfera de massa m na extremidade como uma partícula.

Passo 1

Vamos começar calculando o momento da força resultante agindo sobre a haste e sobre a bola presa na sua extremidade. As forças são:

F b o l a = m b o l a a = 2 m g

F h a s t e = m h a s t e a = 6 m g

E as forças agem no centro de massa de cada objeto. Vamos fazer um diagrama para calcular o momento delas em relação a um ponto conveniente para nós:

E então os momentos dessas forças resultantes são:

M b o l a = 2 m g l cos ⁡ θ

M h a s t e = 6 m g l 2 cos ⁡ θ = 3 m g l cos ⁡ θ

Essas duas quantidades são os momentos resultantes do sistema.

Passo 2

Ok, já temos o momento resultante, então a soma dos momentos das forças que agem sobre o sistema é:

∑ M = M b o l a + M h a s t e

Quais são as forças que produzem esse momento? Temos os pesos P h a s t e e P b o l a , e o momento M = K θ gerado pela mola:

∑ M = - P b o l a l sen ⁡ θ - P h a s t e l 2 sen ⁡ θ + K θ

E o sinal negativo aparece nos momentos dos pesos porque eles favorecem a rotação no sentido contrário ao das nossos momentos resultantes.

Passo 3

Agora ficamos com a seguinte equação:

∑ M = M b o l a + M h a s t e

- P b o l a l sen ⁡ θ - P h a s t e l 2 sen ⁡ θ + K θ = 2 m g l cos ⁡ θ + 3 m g l cos ⁡ θ

- m g l sen ⁡ θ - 3 m g l 2 sen ⁡ θ + K θ = 5 m g l cos ⁡ θ

E nosso objetivo é calcular K , então vamos isolar nessa igualdade:

K = 5 m g l cos ⁡ θ + 5 2 m g l sen ⁡ θ θ

Agora é só substituir os valores numéricos, lembrando que θ , quando aparece sozinho, deve estar em radianos:

θ = 20 ° ≅ 0,350   r a d

K = 5 0,5 ( 9,81 ) 0,6 cos ⁡ 20 ° + 5 2 0,5 9,81 0,6 sen ⁡ 20 ° 0,350

K = 46,8 N m r a d

Resposta

A constante contorcionai da mola é K = 46,8   N m / r a d .

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