Enunciado

Os testes de projeto da sequência de aterrissagem para o módulo lunar são realizados utilizando o modelo de pêndulo suspenso pelos fios paralelos A e B . Se o modelo possui uma massa de 10   k g , com centro de massa em G , e se θ ˙ = 2   r a d / s quando θ = 60   r a d / s , calcule a tração em cada um dos fios para esse instante:

Passo 1

Nós temos duas variáveis: T 1 e T 2 , que são as trações nos fios. Isso quer dizer que vamos precisar de duas equações para resolver o problema.

Vamos montar uma equação de momentos e uma equação de forças.

Como o sistema se move como um pêndulo, ele não tem rotação em torno do ponto G , podemos escrever que:

∑ M G = 0

Essa será nossa equação de momentos. E a equação de forças?

Como o sistema descreve um movimento circular com velocidade angular θ ˙ , nós sabemos que a soma das forças que apontam para o centro da trajetória circular são:

∑ F c = m v 2 r = m r θ ˙ 2

Beleza, essa é uma boa forma de resolver o problema.

Passo 2

Vamos começar calculando a soma dos momentos em relação ao ponto G :

Então apenas as trações geram momento em relação ao ponto G :

∑ M G = T B y - T A y 0,25 + T A x + T B x 0,325 = 0

Como T A e T B formam um ângulo de 60 ° com a horizontal:

T B - T A sen ⁡ 60 ° 0,25 + T A + T B cos ⁡ 60 ° 0,325 = 0

0,0540 T A = 0,3790 T B

Beleza, essa é nossa primeira equação.

Passo 3

Agora vamos montar a equação das forças:

∑ F n = m r θ ˙ 2

Qual é a direção n que aponta para o centro da trajetória? É justamente a direção das duas forças de tração:

∑ F n = T A + T B + P n

Onde P n é a componente da força peso na direção de n :

P n = m g sen ⁡ 60 °

Então nossa segunda equação é:

T A + T B - m g sen ⁡ 60 ° = m r θ ˙ 2

T A + T B = 10 2,1 2 2 + ( 10 ) ( 9,81 ) ( sen ⁡ 60 ° )

T A + T B = 168,95   N

Passo 4

Agora ficamos com o seguinte sistema:

0 , 0540 T A = 0,379 0 T B T A + T B = 168,95

Substituindo a primeira equação na segunda:

0,3790 0,0540 T B + T B = 168,95

T B = 168,95 1 + 0,3790 0,0540 = 21,1   N

E agora substituindo isso na segunda equação:

T A = 168,95 - 21,1 = 147,9   N

Resposta

As trações são T A = 147,9   N e T B = 21,1   N .

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