Enunciado

Determine o menor diâmetro admissível para o eixo que está sujeito às forças concentradas. Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais, e a tensão de flexão admissível é σ a d m = 150   M P a .

Passo 1

Fala aí pessoal, vamos para mais um exercício de resmat. Primeiro, vamos fazer o DCL (diagrama de corpo livre):

Passo 2

Em seguida, vamos encontrar as forças F A e F B a partir da condição de equilíbrio no eixo y e de momento.

Vamos começar olhando o somatório dos momentos sobre o ponto A , pois assim sumimos com uma incógnita ( F A )...

Considerando o sentido anti-horário como positivo, teremos:

∑ M A = 0

- 2 × 0,3 + F B × 0,75 - 1,5 × 1,125 = 0

Da onde encontramos nossa reação em B ....

F B = 3,05 k N

E para calcular F A , o jeito mais rápido é fazendo o somatório das forças em y ... vou considerar para cima como positivo aqui.

∑ F y = 0 F A + 3,05 - 2 - 1,5 = 0 F A = 0,45   k N

Show, já sabemos todas as nossas forças, agora precisamos encontrar o nosso momento fletor M ( x ) para cada seção...

Passo 3

Para encontrar a equação do momento fletor ( M ( x ) ), é necessário fazer o balanço do momento em cada seção (que vão de 0 até x metros), ou seja:

Σ M = 0

Σ F × d + M x = 0

(Lembre sempre de verificar se F × d vai ser anti-horário (+) ou horário (-), tá bem?)

Então vem comigo para encontrarmos o momento ;)

Seção 1:

- F A x + M x = 0

M x = 0,45 x

E essa seção vai até x = 0,3 m , por isso o valor limite nessa seção é:

M 0,3 = 0,1 35 k N m

Seção 2:

- F A x + 2 × x - 0,3 + M x = 0

M x = 0,45 x - 2 x + 0,6

M x = - 1,55 x + 0,6

E essa seção vai até x = 0 , 75 m , por isso o valor limite nessa seção é:

M 0,75 = - 0,5625 k N m

Perceba que nosso momento era positivo na seção 1 e se tornou negativo em algum ponto aqui na seção 2, para desenhar um bom gráfico, vamos analisar em qual ponto o momento passou de positivo para negativo, isso é, em qual ponto o momento foi zero.

M x = - 1,55 x + 0,6 = 0

- 1,55 x = - 0,6

x = 0,39 m

Seção 3:

- F A x + 2 × x - 0,3 - F B × x - 0,75 + M x = 0

M x = 0,45 x - 2 x + 0,6 + 3,05 x - 2,2875

M x = 1,5 x - 1,6875

E essa seção vai até x = 1,125 m , por isso o valor limite nessa seção é:

M 1,125 = 0

Agora vamos desenhar o diagrama para fica fofinho :D

Para montar esse gráfico, eu usei as equações que encontramos para o M ( x ) em cada seção. Aqui eu pude usar o excel e ficou tudo fácil, mas pode ser que você tenha que montar um gráfico assim traçando as retas que encontramos.

Repara só que o ponto de momento máximo em módulo ocorre na passagem entre a seção 2 e a seção 3 e esse valor a gente já calculou, ele é:

| M m á x | = 0,5625 k N m

No SI, teremos:

M m á x = 562,5 N m

Gurizada agora que encontramos o momento máximo, vamos aplicar na equação da tensão normal máxima, a qual o nosso eixo precisa suportar:

σ m á x = M m á x × c I

Nesse caso, c é a distância máxima em relação a linha neutra... Para uma seção transversal circular, essa distância vai ser o próprio raio da seção...

c = r

e o momento de inércia de uma área circular é:

I = 1 4 π r 4

Substituindo...

σ m á x = M m á x × r 1 4 π r 4

σ m á x = M m á x × 4 π r 3

r 3 = M m á x × 4 π × σ m á x

Substituindo os valores...

r = 562,5 × 4 π × 150 × 10 6 3 r = 0,01684   m

Por fim, basta lembrarmos da seguinte fórmula para encontrarmos o diâmetro. Temos:

d 0 = 2 r d 0 = 2 × 0,01684   m d 0 = 33,68   m m

Aeeeeeeeee superamos !!!!!!

Resposta

d 0 = 33,68   m m

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