Enunciado

Determine o momento de inércia de massa da manivela em relação ao eixo x ' . O material é aço, com densidade ρ = 7,85   M g / m 3 .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular o momento de inércia de massa de um sistema, composto por uma barra e duas manivelas, em relação ao eixo x ' .

Vamos começar relembrando da fórmula do momento de inércia de massa de cada um dos componentes em relação ao eixo que passa pelo centro de massa (paralelo ao eixo x ' ). Para a barra, temos:

I b a r r a = M a 2 + b 2 12

Sendo M a sua massa, a = 0,18   m e b = 0,03   m . Já para a manivela, temos:

I m a n i v e l a = m r 2 2

Sendo r = 0,01   m .

Bom, já deu para perceber que temos um problema em relação as fórmulas não serem em relação ao eixo x ' , mas sim do eixo que passa pelo centro de massa. Por causa disto, vamos ter que trabalha com o teorema de eixos paralelos.

Só que nós só veremos este teorema depois, pois temos um problema maior antes: qual é a massa dos componentes??? Então, vamos calculá-los!

Passo 2

Vamos calcular a massa da barra e da manivela. Aqui é jogo fácil. Basta lembrar que a massa é o produto da densidade pelo volume! Portanto, começando pela barra, temos:

M = ρ V b a r r a = ρ a b c

M = 7,85 ⋅ 10 6 ⋅ 0,18 ⋅ 0,03 ⋅ 0,02

M = 847,8   g = 0,8478   k g

Já para a manivela, temos:

m = ρ V m a n i v e l a = ρ π r 2 L

m = 7,85 ⋅ 10 6 ⋅ π ⋅ 0,01 2 ⋅ 0,05

m = 123,3   g = 0,1233   k g

E assim terminamos de determinar a massa dos componentes!

Passo 3

Para que a gente consiga calcular o momento de inércia, vamos nos lembrar do teorema dos eixos paralelos. Ele nos diz que:

I = I G + m d 2

Sendo I G o momento de inércia que passa pelo centro de massa da peça, I o momento de inércia que queremos e d a distância entre os dois eixos.

Para o caso da questão, o centro de massa de uma das manivelas com o eixo x ' . Logo, para esta manivela (a de baixo) temos I = I G .

Já para a outra manivela os dois eixos não coincidem. Ambos distam d m a n i v e l a = 0,12   m . E o mesmo acontece para a barra, que dista d b a r r a = 0,06   m . Portanto, o momento de inércia do sistema será:

I x = I b a r r a + M d b a r r a 2 + I m a n i v e l a + m d 2 + I m a n i v e l a

I x = 0,8478 ⋅ 0,18 2 + 0,03 2 12 + 0,8478 ⋅ 0,06 2 + 0,1233 ⋅ 0,01 2 2 + 0,1233 ⋅ 0,12 2 + 0,1233 ⋅ 0,01 2 2

I x = 5,405 ⋅ 10 - 3 + 1,782 ⋅ 10 - 3 + 6,165 ⋅ 10 - 6

I x = 7,20 ⋅ 10 - 3   k g ⋅ m 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

I x = 7,20 ⋅ 10 - 3   k g ⋅ m 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine y - , que localiza o eixo centroidal x ' da área da seção transversal da viga “ T ” , e depois calcule o momento de inércia em relação ao eixo x ' .
67. Determine os momentos de inércia I u e I v da área sombreada.
Determine o momento de inércia do anel fino em relação ao eixo z . O anel tem massa m .
Determine a orientação dos eixos principais, que têm sua origem no ponto C , e os momentos de inércia principais da seção transversal em relação a esses eixos.
Resolva o Problema 10.69 usando o círculo de Mohr.