Enunciado

67. Determine os momentos de inércia I u e I v da área sombreada.

Passo 1

Opaaa.. belezinha??

Nessa questão vamos usar o momento de inércia pra retangular:

I = 1 12 b h 3

O teorema dos eixos paralelos:

I x = I - x ' + A d y 2

I x = I - y ' + A d y 2  

E as equações pros eixos inclinados.

I u = I x + I y 2 + I x - I y 2 cos ⁡ 2 θ - I x y sen ⁡ 2 θ

I v = I x + I y 2 - I x - I y 2 cos ⁡ 2 θ + I x y sen ⁡ 2 θ

Passo 2

Vamos separar a viga em duas partes:

Calculando o momento de inércia em relação a x :

I x = 1 12 40 200 3 + 1 12 200 40 3 + 40 200 0

I x = 27,8 × 10 6   m m 4

Em relação a y :

I y = 1 12 200 40 3 + 1 12 40 200 3 + 40 200 120 2

I y = 1 42,9 × 10 6   m m 4

E como os centros das duas figuras estão alinhados, então:

I x y = 0

Passo 3

Agora só jogar nas equações:

I u = I x + I y 2 + I x - I y 2 cos ⁡ 2 θ - I x y sen ⁡ 2 θ

I u = I x + I y 2 + I x - I y 2 cos ⁡ 2 45 - I x y sen ⁡ 2 45

I u = 27,8 × 10 6 + 142,9 × 10 6 2 + 27,8 × 10 6 - 142,9 × 10 6 2 0 - 0 1

I u = 85,3 5 × 10 6   m m 4

I v = I x + I y 2 - I x - I y 2 cos ⁡ 2 θ + I x y sen ⁡ 2 θ

I v = 27,8 × 10 6 + 142,9 × 10 6 2 - 27,8 × 10 6 - 142,9 × 10 6 2 0 + 0 1

I v = 85,35 × 10 6   m m 4

Resposta

I u = 85,3 5 × 10 6   m m 4

I v = 85,3 5 × 10 6   m m 4

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