Enunciado

Determine o momento de inércia I z do tronco de cone com uma depressão cônica. O material tem densidade de 200   k g / m 3 .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular o momento de I z do tronco de cone com uma depressão cônica.

O problema é que nós não temos nenhuma relação para esta figura. A única relação que temos é para um cone inteiro, que é dado por:

I = 3 10 m r 2

E agora???

Bom, o que temos que fazer é calcular o momento de inércia para um cone completo (que engloba o tronco de cone) e depois subtrair o momento das partes que estão faltando (o topo do cone e a depressão)

Como precisamos das massas deles, temos que começar identificando as dimensões desses cones. Então, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar pelo cone maior. Ele tem raio de base igual a r 1 = 0,8   m . Já a altura a gente não conhece (pois temos apenas a altura do tronco de cone).

Mas não é nada impossível de conseguirmos esta dimensão. Por relação de triângulo, temos:

h 1 0,8 = h 1 - 1 0,2 ⟹ h 1 = 4 3 m

Já a parte do topo do cone que está faltando terá raio r 2 = 0,2   m e altura h 2 = h 1 - 1 = 1 3 m .

Por fim, a parte da depressão cônica a gente consegue diretamente da figura da questão. Ela possui r 3 = 0,2   m e h 3 = 0,6   m .

E assim a gente encontrou as dimensões de cada cone.

Passo 3

Vamos agora calcular a massa de cada um deles. Aqui é jogo fácil. Basta lembrar que a massa é o produto da densidade pelo volume! Portanto, começando pelo cone maior, temos:

m 1 = ρ V c o n e 1 = ρ π r 1 2 h 1 3

m 1 = 200 ⋅ π ⋅ 0,8 2 ⋅ 4 3 3

m 1 = 178,7   k g

Já para o topo do cone que está faltando, temos:

m 2 = ρ V c o n e 2 = ρ π r 2 2 h 2 3

m 2 = 200 ⋅ π ⋅ 0,2 2 ⋅ 1 3 3

m 2 = 2,8   k g

Por fim, a massa da depressão cônica será:

m 3 = ρ V c o n e 3 = ρ π r 3 2 h 3 3

m 3 = 200 ⋅ π ⋅ 0,2 2 ⋅ 0,6 3

m 3 = 5,0   k g

E assim terminamos de determinar a massa dos componentes!

Passo 4

Para finalizarmos a questão, basta calcularmos o momento de inércia do cone completo e subtrair dos pedaços que faltam. Sendo assim, temos:

I z = I c o n e 1 - I c o n e 2 - I c o n e 3

I z = 3 10 m 1 r 1 2 - 3 10 m 2 r 2 2 - 3 10 m 3 r 3 2

I z = 3 10 ⋅ 178,7 ⋅ 0,8 2 - 3 10 ⋅ 2,8 ⋅ 0,2 2 - 3 10 ⋅ 5,0 ⋅ 0,2 2

I z = 34,2   k g ⋅ m 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

I z = 34,2   k g ⋅ m 2

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