Determine a profundidade h do furo no cilindro de modo que o centro de massa do sólido esteja

localizado em x^- = 64 mm . O material tem densidade de 8 Mg/m^3 .

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema temos um cilindro de raio 40   m m e comprimento 120   m m com um furo em sua base de raio 20   m m e altura h .

A partir daí temos que determinar o comprimento h do furo para que o centro de massa do objeto esteja em x - = 64   m m .

Parece complicado?

Para resolver esse problema temos que aplicar a fórmulinha dos somatórios

x - = ∑ x m ∑ m

Sendo que como o objeto é homogêneo, temos que:

m = ρ V

Bora lá!

Passo 2

As dimensões do cilindro são fixas, então para ele temos que:

x - 1 = 120 2 = 60   m m

A massa do cilindro sem o furo é:

m 1 = ρ V 1 = ρ π r 1 2 l

m 1 = 8 · π · 40 2 · 120

m 1 = 4,82   k g

OBS: lembrando que 1 M g m 3 = 10 - 6 k g m m 2 .

Agora para o furo, temos que:

x - 2 = h 2   m m

m 2 = ρ V 2 = ρ π r 2 2 h

m 2 = 8 · π · 20 2 · h

m 2 = 0,01 h   k g

Escrevendo a fórmulinha do somatório, considerando o furo como um volume negativo...

x - = ∑ x m ∑ m = x - 1 m 1 - x - 2 m 2 m 1 - m 2

Substituindo os valores...

x - = 60 · 4,82 - h 2 · 0,01 h 4,82 - 0,01 h

x - = 578,4 - 0,01 h 2 9,64 - 0,0 2 h

Nosso objetivo é calcular h de forma que x - = 64   m m , ou seja:

578,4 - 0,01 h 2 9,64 - 0,02 h = 64

578,4 - 0,01 h 2 - 616,96 + 1,28 h = 0

- 0,01 h 2 + 1,28 h - 38,56 = 0

Com isso, chegamos em

h = 48,5   m m

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

h = 48,5   m m

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