Enunciado

Se h = 5   m , determine a tração máxima desenvolvida na corrente e seu comprimento, a corrente tem uma massa por unidade de comprimento de 8   k g / m .

Passo 1

O problema quer que a gente encontre a tração máxima na corrente e o comprimento dela.

Vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre, assim:

Onde o carregamento pode ser descrito como:

w s = 8 9,81 = 78,48   N / m

Perceba que a questão deu como unidade de passa por isso multipliquei pela gravidade para encontrar o peso.

Passo 2

Nós notamos que ( 0,0 ) na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:

d 2 y d 2 x = w ( s ) F H = 78,48 F H 1 + d y d x 2

Se nós consideramos u = d y d x , então d u d x = d 2 y d 2 x , logo:

d u d x = d y 1 + u 2 = 78,48 F H d x

E integrando isso:

ln ⁡ u + 1 + u 2 = 78,48 F H x + C 1

Vamos encontrar C 1 , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, d y d x = 0 e x = 0 então:

0 = 78,48 F H ( 0 ) + C 1

Logo C 1 é igual a 0 .

Ficamos com:

ln ⁡ u + 1 + u 2 = 78,48 F H x

Agora, vamos dar uma ajeitada e tentar simplicar isso, calma, eu sei que parece muito estranho:

u + 1 + u 2 = e 78,48 F H x

d y d x = u = e 78,48 F H x - e - 78,48 F H x 2

Agora lembra que sinh ⁡ x = e x - e - x 2 , aí ficamos com:

d y d x = sinh ⁡ 78,48 F H x

Integramos mais uma vez para chegarmos na função não derivada:

y = F H 78,48 ⋅ cosh ⁡ 78,48 F H x + C 2

Testando a equação na condição inicial, onde x = 0 e y = 0 , encontramos que:

C 2 = - F H 78,48

Logo, ficamos com:

y = F H 78,48 ⋅ cosh ⁡ 78,48 F H x - 1

Aplicamos no ponto que é y = 5 e x = 25 para encontrarmos F H :

5 = F H 78,48 ⋅ cosh ⁡ 78,48 F H ( 25 ) - 1

Resolvendo por tentativa e erro, conseguimos achar:

F H = 4969,06   N

Passo 3

Tá quase acabando, mas antes da gente encontrar a força de tração máxima, temos que encontrar o ângulo máximo formado pela tração, podemos notar visualmente que isso ocorre em 25   m o que nos poupa muitos cálculos.

Para encontramos o ângulo é bom lembrarmos que a derivada é a tangente do ângulo formado em relação ao eixo, assim:

Sabemos que:

x = 25   m

F H = 4969,06   N

Então:

θ m a x = tan - 1 ⁡ d y d x = tan - 1 ⁡ sinh ⁡ 78,48 4969,06 ( 25 ) = 22,06 °

Finalmente, a tração máxima:

T m a x = F H cos ⁡ θ B = 4969,06 cos ⁡ 22,06 ° = 5361,46   N = 5,36   k N

Passo 4

Por fim, a gente só precisa encontrar o comprimento da corrente, pra isso vamos fazer um diagrama de corpo livre:

Agora, analizamos as forças nos dois eixos:

y →   T sen ⁡ θ - 8 9,81 s = 0

x →   T cos ⁡ θ - 4969,06 = 0

Eliminando o T , a gente acaba encontrando:

d y d x = tan ⁡ θ = 0,015794 s

Então igualamos a equação derivada:

sinh ⁡ 78,48 4969,06 x = 0,015794 s

Assim encontramos:

s = 63,32 ⋅ sinh ⁡ 0,01579 x

Substitumos o x por 25 , e obtemos a resposta:

L = 63,32 ⋅ sinh ⁡ 0,01579 25 = 51,3   m

Resposta

T m a x = 5,36   k N

L = 51,3   m

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