Enunciado

Se a inclinação do cabo de apoio A é 10 ° , determine a curva de deflexão y = f ( x ) do cabo e a tração máxima desenvolvida no cabo.

Passo 1

O problema quer que a gente encontre a tração máxima no cabo.

Vamos começar que o carregamento triangular pode ser descrito como:

w x = 10 12 x = 0,8333 x

Passo 2

Nós notamos que ( 0,0 ) na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:

d 2 y d 2 x = w ( x ) F H = 0,8333 F H x

E integrando isso:

d y d x = 0,4166 F H x 2 + C 1

Vamos encontrar C 1 , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, d y d x = tan ⁡ 10 °   pois a derivada é a tangente do ângulo no ponto e x = 0 então:

d y d x = tan ⁡ 10 °   = 0,4166 F H ( 0 ) 2 + C 1

Logo C 1 é igual a tan ⁡ 10 °   .

Ficamos com:

d y d x = 0,4166 F H x 2 + tan ⁡ 10 °

Integramos mais uma vez para chegarmos na função não derivada:

y = 0,1389 F H x 3 + tan ⁡ ( 10 ° ) x + C 2

Aplicamos a condição inicial também para descobrirmos C 2 , mas dessa vez a condição inicial é que y = 0 e x = 0 :

0 = 0,1389 F H ( 0 ) 3 + tan ⁡ 10 ° ( 0 ) + C 2

Encontramos que C 2 é nulo. Então, ficamos com a função do cabo como sendo:

y = 0,1389 F H x 3 + tan ⁡ ( 10 ° ) x

Passo 3

Agora, descobrir F H pra isso, vamos usar a equação que encontramos no ponto que já sabemos:

y = 3 e x = 12 :

Na equação:

3 = 0,1389 F H ( 12 ) 3 + tan ⁡ 10 ° ( 12 )

Com essa equação calculamos que:

F H = 271,49   k N

Então, substituímos F H na função derivada:

d y d x = 0,4166 271,49 x 2 + tan ⁡ 10 ° = 1,5345 ⋅ 10 - 3 x 2 + tan ⁡ 10 °

E na função não derivada:

y = 0,1389 271,49 x 3 + tan ⁡ ( 10 ° ) x = 511,62 ⋅ 10 - 6 x 3 + tan ⁡ 10 ° x

Passo 4

Tá quase acabando, mas antes da gente encontrar a força de tração máxima, temos que encontrar o ângulo máximo formado pela tração, podemos notar visualmente que isso ocorre em B o que nos poupa muitos cálculos.

Para encontramos o ângulo é bom lembrarmos que a derivada é a tangente do ângulo formado em relação ao eixo, assim:

θ B = tan - 1 ⁡ d y d x = tan - 1 ⁡ ( 1,5345 ⋅ 10 - 3 ( 12 ) 2 + tan ⁡ 10 ° ) = 21,668 °

Finalmente, a tração em B que é a máxima:

T B = T m a x = F H cos ⁡ θ B = 271,49 cos ⁡ 21,668 ° = 292,13   k N

Resposta

T m a x = 292,13   k N

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