Enunciado

Determine a velocidade máxima que um carro de 1,5 Mg pode ter e ainda permanecer em contato com a estrada quando ele passa pelo ponro A . Se o carro mantém esta velocidade, qual é a reação normal da estrada sobre ele quando ele passa pelo ponto B ? Despreze a dimensão do carro.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa do carro: M = 1,5 Mg = 1500 kg;

Posição do ponto B : x = 25 m;

Trajetória curva;

Velocidade em A igual velocidade em B : v A = v B = v .

Nosso objetivo é determinar a velocidade máxima que este carro pode atingir sem que ele descole da pista no ponto A . Em seguida, mantendo uma velocidade constante, esse carro passará pelo ponto B , onde devemos determinar a força normal sobre ele.

Primeiramente, desenharemos o Diagrama de Corpo Livre da caixa.

Onde W = força peso

N = força normal resultante

a t = aceleração tangencial

a n =aceleração normal

Lembre-se que a aceleração normal a n deve apontar no sentido positivo do eixo normal n . Como a aceleração tangencial a t é desconhecida, vamos supor que ela atue na direção de t positiva.

Sabemos que g = 9,81 m/s2 e que

W = M g

a t = d v d t

a n = v 2 ρ

ρ =   1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2

Onde ρ é o raio de curvatura no ponto onde o corpo está localizado.

Passo 2

Fazendo uma análise da geometria da situação, temos que

y = 25 - 1 200 x 2

d y d x = - 0,01 x

d 2 y d x 2 = - 0,01

Portanto, para o ponto A em x = 0 m:

ρ A = 1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2 x = 0 = 1 + 0 2 3 2 0,01 = 100   m

Para o ponto B em x = 25 m:

ρ B = 1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2 x = 25 = 1 + 0,25 2 3 2 0,01 = 109,52   m

Passo 3

Em seguida, devemos encontrar o ângulo θ .

Olhando novamente o diagrama de corpo livre, podemos ver que

tan ⁡ θ = d y d x

Para o ponto A em x = 0 m:

θ = tan - 1 ⁡ d y d x x = 0 = tan - 1 ⁡ ( 0 ) = 0 °

θ A = 0 °

Para o ponto B em x = 25 m:

θ = tan - 1 ⁡ d y d x x = 25 = tan - 1 ⁡ ( - 0,01 25 ) = - 14,04 °

θ B = θ = 14,04 °

Passo 4

Agora utilizaremos a Equação do Movimento para encontrar a força N em B .

∑ F n = m a n

W cos ⁡ θ - N = M v 2 ρ

1500 9,81 cos ⁡ θ - N = 1500 v 2 ρ

N = 14715 cos ⁡ θ - 1500 v 2 ρ

No ponto A , queremos saber a velocidade máxima onde o carro não descola da pista. Neste caso, o valor máximo ocorrerá quando a força N tender a zero, ou seja, quando o carro estiver na iminência de perder o contato com o chão. Podemos considerar então que N = 0 . Logo,

N = N A = 0   N

θ = θ A = 0 °

ρ = ρ A = 100   m

Substituindo esses valores na equação de N , temos

0 = 14715 cos ⁡ 0 ° - 1500 v 2 100

v = v m á x = 31,32   m / s

Passo 5

Agora que temos o valor de v , podemos encontrar N no ponto B . Sabemos que

θ = θ B = 14,04 °

ρ = ρ B = 109,52   m

Substituindo esses valores na equação de N , temos

N = N B = 14715 cos ⁡ 14,04 ° - 1500 31,32 2 109,52 = 839,74   N

N B = 840   N

Resposta

v = 31 , 32   m / s

N B = 840   N

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