Enunciado

Um trenó e um esquiador de massa total 90 kg deslocam-se ao longo de um declive (liso) definido pela equação y = 0,08 x 2 . No instante x = 10 m, a velocidade do trenó é 5 m/s. Neste ponto, determine a taxa de aceleração e a força normal que o declive exerce sobre o trenó. Despreze a dimensão do trenó e do esquiador para o cálculo.

Passo 1

Sabemos que o declive é liso, portanto a Força de Resistência à tração é desprezível ( F f = 0 ) , e que ele é definido pela seguinte equação:

y = 0,08 x 2

Além disso, temos os seguintes dados:

massa do esquiador+trenó: M = 9 0   kg

velocidade em x = 10 : v = 5   m/s

gravidade: g = 9,81   m/s2

Analisando o enunciado, podemos ver que o problema envolve o movimento do corpo ao longo de uma trajetória curva conhecida. Quando temos este tipo de trajetória, é necessário traçar um novo eixo com as coordenadas normais e tangenciais a fim de facilitar a resolução do problema. Assim, obtemos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde W = força peso

N = força normal resultante

a t = aceleração tangencial

a n =aceleração normal

Sabemos que

W = M g

a n = v 2 ρ

a t = d v d t

ρ =   1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2

Onde ρ é o raio de curvatura no ponto onde o corpo está localizado.

A questão pede para encontrarmos a taxa de aceleração d v d t , ou seja, a t , e a Força Normal N .

Passo 2

Primeiramente, analisamos a geometria da situação. Temos que

y = 0,08 x 2

d y d x = 0,16 x

d 2 y d x = 0,16

Logo, para x = 10 m,

ρ = 1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2 = 1 + 0,16 x 2 3 2 0,16 x = 10 = 41,98   m

Passo 3

Em seguida, devemos encontrar o ângulo θ .

Olhando novamente o diagrama de corpo livre, podemos ver que

tan ⁡ θ = d y d x

Logo, para x = 10 m, temos

tan ⁡ θ = d y d x x = 10 = 0,16 10 = 1,6

θ = 57,99 °

Passo 4

Agora, com os dados obtidos, utilizaremos as Equações de Movimento para encontrar as os dados pedidos pela questão.

Sabemos que, em x = 10 m,

ρ = 41,98   m

a n = v 2 ρ = 5 2 41,98   m / s 2

Logo, aplicando a Equação do Movimento no sentindo do eixo t , temos

∑ F t = m a t

W sen ⁡ 57,99 ° = M a t

90 9,81 sen ⁡ 57,99 ° = 90 a t

a t = 8,32   m / s 2

Aplicando a Equação do Movimento no sentido do eixo n , temos

∑ F n = m a n

- W cos ⁡ 57,99 ° + N = M a n

- 90 9,81 cos ⁡ 57,99 ° + N = 90 5 2 41,98

N = 522   N

Resposta

a t = d v d t =   8,32   m / s 2

N = 522   N

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