Enunciado

Determine a velocidde mínima que deve ser dada à caixa de 2,5 kg em A a fim de que ela permaneça em contato com a trajetória circular. Determine também a velocidade da caixa quando ela chega ao ponto B .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa da caixa: 2,5 kg;

Pista circular: trajetória curva;

Raio: ρ = 1,2 m.

Nosso objetivo é determinar a velocidade mínima da caixa em A para que ela não desgrude da pista durante sua trajetória. Em seguida, determinaremos a velocidade da caixa quando no ponto B .

Primeiramente, desenharemos o Diagrama de Corpo Livre da caixa.

Onde W = força peso

N = força normal resultante

a t = aceleração tangencial

a n =aceleração normal

Lembre-se que a aceleração normal a n deve apontar no sentido positivo do eixo normal n . Como a aceleração tangencial a t é desconhecida, vamos supor que ela atue na direção de t positiva.

Sabemos que g = 9,81 m/s2 e que

W = M g

a t = d v d t

a n = v 2 ρ

Passo 2

Agora, utilizaremos as Equações do Movimento.

Aplicando a Equação do Movimento no sentindo do eixo t , temos

∑ F t = m a t

- W sen ⁡ θ = M a t

- 2,5 ( 9,81 ) sen ⁡ θ = 2,5 a t

a t = - 9,81 sen ⁡ θ

Aplicando a Equação do Movimento no sentindo do eixo n , temos

∑ F n = m a n

N - W cos ⁡ θ = M v 2 ρ  

N - 2,5 ( 9,81 ) cos ⁡ θ = 2,5 v 2 1,2  

N = 2,5 1,2 v 2 + 2,5 ( 9,81 ) cos ⁡ θ

Passo 3

Sabemos que, pela relação da cinemática,

v   d v = a t   d s

Logo,

v   d v = - 9,81 sen ⁡ θ   d s

Portanto, devemos estabeler uma relação entre d s e o ângulo θ para conseguir resolver a questão. Utilizando a relação geométrica s = θ ρ , onde d s = ρ d θ , temos que

d s = ρ   d θ = 1,2   d θ

Finalmente temos a relação

v   d v = - 9,81 sen ⁡ θ   ( 1,2   d θ )  

Esta é uma EDO homogênea linear de 1o ordem. Utilizaremos a condição inicial onde v A = v 0 para θ A = 0 ° para resolver a EDO.

∫ v 0 v v d v = ∫ 0 θ - 9,81 sen ⁡ θ ( 1,2   d θ )  

v 2 2 v 0 v = 11,77 cos ⁡ θ 0 θ

v 2 2 - v 0 2 2 = 11,77 cos ⁡ θ - 11,77 cos ⁡ 0 °

v 2 2 = v 0 2 2 + 11,77 cos ⁡ θ - 1

v 2 = v 0 2 + 23,54 cos ⁡ θ - 23,54

Passo 4

Em θ = 180 ° sabemos que o bloco atinge o ponto mais alto. Nesta posição, o bloco está na iminência de cair, ou seja, está perdendo contato com a pista. Com isso, a força normal tende a zero e podemos considerá-la nula ( N = 0 ) . Substituindo esses dois valores na seguinte equação de movimento, teremos

N = 2,5 1,2 v 2 + 2,5 ( 9,81 ) cos ⁡ θ

0 = 2,08 v 2 + 2,5 9,81 cos ⁡ 180 °

v 2 = 24,53 2,08 = 11,79

Sabemos que v A = v 0 = v m í n . Substituindo estes valores na equação da velocidade, temos

v 2 = v m í n 2 + 23,54 cos ⁡ θ - 23,54

v m í n 2 = 11,79 + 23,54 + 23,54

v m í n 2 = 58,87

v m í n = 7,67   m / s

Passo 5

Agora vamos analisar o ponto B . Neste ponto temos θ B = 180 ° + 30 ° = 210 ° . Substituindo na equação da velocidade

v 2 = v m í n 2 + 23,54 cos ⁡ θ - 23,54

v B 2 = v m í n 2 + 23,54 cos ⁡ 210 ° - 23,54

v B 2 = 14,94

v B = 3 , 86   m / s

Resposta

v A = 7,67   m / s

v B = 3 , 86   m / s

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