Enunciado

Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área parabólica mostrado na figura em torno ( a ) do eixo x , ( b ) do eixo A A .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o volume gerado pela rotação da área parabólica em torno de dois diferentes eixos. Para isso, vamos utilizar o teorema de Pappus para o volume. Primeiro, precisamos encontrar a área da parábola, dada por:

A = 4 3 a h

E paraa y - , temos:

y - = 3 5 h

Passo 2

Agora, vamos usar o mesmo teorema de pappus:

V = 2 π y - A V = 2 π 3 5 h 4 3 a h V = 8 5 π a h ²

Passo 3

Por fim, para a rotação em torno do eixo A A ' , vamos utilizar o mesmo teorema, entretando, mudaremos a distância para o eixo, dada agora por:

y - = 2 a

Vamos substituir no teorema, lembrando que vamos usar a mesma área encontrada anteriormentre. Fica assim:

V = 2 π 2 a 4 3 a h V = 16 3 π a 2 h

Resposta

V = 8 5 π a h ²

V = 16 3 π a 2 h

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